偏微分方程数值解讲义

本书是为大学本科计算数学专业偏微分方程数值解课程编写的教材。主要内容包括：椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程的差分方法；差分格式的相容性、截断误差、稳定性和收敛性；分析差分格式稳定性的若干常用方法，如 Fourier 分析、优选值原理、能量法等；差分格式的修正方程分析及格式的耗散与色散；有限元方法的一般框架；二阶椭圆型方程有限元方法的先验、后验误差估计及自适应算法等。

李治平，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1987年在北京大学获博士学位。主要研究方向是偏微分方程数值解法。

第1章 椭圆型偏微分方程的差分方法
1.1 引言
1.2 模型问题的差分逼近
1.3 一般问题的差分逼近
1.3.1 网格、网格函数及其范数
1.3.2 差分格式的构造
1.3.3 截断误差、相容性、稳定性与收敛性
1.3.4 边界条件的处理
1.4 基于优选值原理的误差分析
1.4.1 优选值原理与差分方程解的存在专享性
1.4.2 比较定理与差分方程的稳定性和误差估计
1.5 渐近误差分析与外推
1.6 补充与注记
习题1
第2章 抛物型偏微分方程的差分方法
2.1 引言
2.2 模型问题及其差分逼近
2.2.1 模型问题的显式格式及其稳定性和收敛性
2.2.2 模型问题的隐式格式及其稳定性和收敛性
2.3 一维抛物型偏微分方程的差分逼近
2.3.1 直接差分离散化方法
2.3.2 基于半离散化方法的差分格式
2.3.3 一般边界条件的处理
2.3.4 耗散与守恒性质
2.4 高维抛物型偏微分方程的差分逼近
2.4.1 高维盒形区域上的显式格式和隐式格式
2.4.2 二维和三维交替方向隐式格式及局部一维格式
2.4.3 更一般的高维抛物型问题的差分逼近
2.5 补充与注记
习题2
第3章 双曲型偏微分方程的差分方法
3.1 引言
3.2 一维一阶线性双曲型偏微分方程的差分方法
3.2.1 特征线与CFL条件
3.2.2 迎风格式
3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式
3.2.4 ：蛙跳格式
3.2.5 差分格式的耗散与色散
3.2.6 初边值问题与边界条件的处理
3.3 一阶双曲守恒律方程与守恒型格式
3.3.1 有限体积格式
3.3.2 初始条件与边界条件的处理
3.4 对流扩散方程的差分方法
3.4.1 对流扩散方程的中心显式格式与修正中心显式格式
3.4.2 对流扩散方程的迎风格式
3.4.3 对流扩散方程的隐式格式
3.4.4 对流扩散方程的特征差分格式
3.5 波动方程的差分方法
3.5.1 波动方程的显式格式
3.5.2 波动方程的隐式格式
3.5.3 变系数波动方程隐式格式的能量不等式和稳定性
3.5.4 基于等价一阶方程组的差分格式
3.5.5 交错型蛙跳格式与局部能量守恒性质
3.6 补充与注记
习题3
第4章 再论差分方程的相容性、稳定性与收敛性
4.1 发展方程初边值问题及其差分逼近
4.2 截断误差与逼近精度的阶，相容性与收敛性
4.3 稳定性与Lax等价定理
4.4 稳定性的von Neumann条件和强稳定性
4.5 修正方程分析
4.6 能量分析方法
第5章 椭圆边值问题的变分形式
5.1 抽象变分问题
5.1.1 抽象变分问题
5.1.2 Lax-Milgram引理
5.2 变分形式与弱解
5.2.1 椭圆边值问题的例子
5.2.2 Sobolev空间初步
5.2.3 椭圆边值问题的变分形式与弱解
5.3 补充与注记
习题5
第6章 椭圆边值问题的有限元方法
6.1 Galerkin方法与Ritz方法
6.2 有限元方法
6.2.1 有限元方法的一个典型例子
6.2.2 有限元的一般定义
6.2.3 有限元与有限元空间的例子
6.2.4 有限元方程与有限元解
6.3 补充与注记
习题6
第7章 椭圆边值问题有限元解的误差估计
7.1 Cea引理与有限元解的抽象误差估计
7.2 Sobolev空间插值理论
7.2.1 Sobolev空间的多项式商空间与等价商范数
7.2.2 仿射等价开集上Sobolev半范数的关系
7.2.3 多项式不变算子的误差估计
7.2.4 有限元函数的反估计
7.3 多角形区域上二阶问题有限元解的误差估计
7.3.1 H1范数意义下的误差估计
7.3.2 Aubin—Nische技巧与L2范数意义下的误差估计
7.4 非协调性与相容性误差
7.4.1 第一和第二：Strang引理
7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和双线性引理
7.4.3 数值积分引起的相容性误差
7.5 补充与注记
习题7
第8章 有限元解的误差控制与自适应方法
i8.1 有限元解的后验误差估计
8.2 后验误差估计子的可靠性与有效性
8.3 自适应方法
8.3.1 h型、p型与h-p型自适应方法
8.3.2 网格重分布型自适应方法
8.4 补充与注记
习题8
部分习题答案和提示
符号说明
参考文献
名词索引