高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程

本书作者是数学领域的专家，指导学生参加数学竞赛多次获奖。本书是在作者多年积累的基础上形成的。不仅涵盖了基础知识点，更是枚举了典型例题，给出不同解法，给读者启发和思考，提升读者解决问题的能力！一本不错的好书，值得推荐！

本书是作者多年来在大学生数学竞赛辅导和考研辅导经验的基础上编写而成的．全书共分为13 章，每章包括4 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练以及深化训练详解．本书编写的目的主要有两个：一是帮助工科类、经管类本科生备考全国大学生数学竞赛，使学生能够在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提升学生综合分析问题、解决问题的能力；二是为了满足工科类、经管类本科生考研的需要. 在例题和习题选编方面，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题、习题的创新，按题型分类进行合理编排，使学生能够尽快地适应考研题型，从容应对考试.本书既可以作为普通高等院校工科类、经管类本科生参加全国大学生数学竞赛的辅导用书，也可以作为工科类、经管类本科生考研深化训练用书．

刘强，博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长，兼任全国工业统计学教学研究会常务理事及常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，中国商业经济学会经济数学研究分会常务理事，北京大数据协会理事等；先后入选北京市中青年骨干人才，北京市优秀人才，北京市中青年拔尖人才等。长期从事高等教育教学、考研数学、数学竞赛、经济数据分析、复杂数据分析等方面的教学、科研工作。

目 录 第1章 函数 1 1.1 知识要点 1 1.1.1 函数 1 1.1.2 常用不等式 1 1.1.3 反函数 2 1.1.4 复合函数 2 1.1.5 关于函数表达式的求解 2 1.1.6 一些常用的三角公式 2 1.1.7 一些常用的代数公式 3 1.2 典型例题分析 4 1.2.1 题型一、函数表达式的求解与证明 4 1.2.2 题型二、复合函数问题 6 1.2.3 题型三、函数的四种几何特性 7 1.3 深化训练 9 1.4 深化训练详解 10 第2章 极限与连续 12 2.1 知识要点 12 2.1.1 极限的概念与性质 12 2.1.2 无穷小量与无穷大量 13 2.1.3 四个极限存在准则与两个重要极限 14 2.1.4 几个重要的结论 15 2.1.5 施笃兹（O.Stolz）定理 15 2.1.6 柯西（Cauchy）定理 15 2.1.7 关于函数的连续性 16 2.1.8 求极限的常用方法 16 2.2 典型例题分析 16 2.2.1 题型一、利用极限的分析定义求极限 16 2.2.2 题型二、利用初等变换方法求极限 18 2.2.3 题型三、利用四个极限存在准则求极限 19 2.2.4 题型四、利用施笃兹定理求极限 22 2.2.5 题型五、利用两个重要极限求极限 23 2.2.6 题型六、利用等价无穷小量替换求极限 24 2.2.7 题型七、利用中值定理求极限 25 2.2.8 题型八、利用定积分的定义求极限 28 2.2.9 题型九、函数的连续性问题 29 2.2.10 题型十、连续函数的等式证明问题 32 2.3 深化训练 33 2.4 深化训练详解 36 第3章 导数与微分 44 3.1 知识要点 44 3.1.1 导数的概念 44 3.1.2 导数的几何意义 44 3.1.3 高阶导数 45 3.1.4 复合函数的求导法则 45 3.1.5 反函数求导法则 45 *3.1.6 参数方程所确定的函数的导数 46 3.1.7 几个重要的结论 46 3.1.8 达布（Darboux）定理 46 3.2 典型例题分析 46 3.2.1 题型一、导数的定义问题 46 3.2.2 题型二、反函数、复合函数求导问题 48 3.2.3 题型三、导数的几何意义 49 3.2.4 题型四、利用导数的定义求极限 50 3.2.5 题型五、分段函数的导数问题 51 3.2.6 题型六、高阶导数问题 51 3.2.7 题型七、隐函数的求导问题 54 3.2.8 题型八、导数的等式证明问题 54 3.2.9 题型九、导函数的连续性问题 55 *3.2.10 题型十、导数的参数方程问题 56 3.2.11 题型十一、导数的综合问题 57 3.3 深化训练 58 3.4 深化训练详解 60 第4章 微分中值定理 64 4.1 知识要点 64 4.1.1 中值定理 64 4.1.2 一些常用的麦克劳林公式 65 4.1.3 一些常用的结论或公式 66 4.2 典型例题分析 66 4.2.1 题型一、利用中值定理证明等式问题 66 4.2.2 题型二、利用中值定理证明不等式问题 69 4.2.3 题型三、利用中值定理证明恒等式 73 4.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题 74 4.2.5 题型五、利用泰勒公式求极限 75 4.2.6 题型六、利用泰勒公式证明等式 80 4.2.7 题型七、利用泰勒公式证明不等式 80 4.2.8 题型八、泰勒公式的其他应用 82 4.3 深化训练 82 4.4 深化训练详解 84 第5章 导数的应用 89 5.1 知识要点 89 5.1.1 洛必达法则 89 5.1.2 函数的单调性 89 5.1.3 函数的极值与最值 89 5.1.4 曲线的凹凸区间与拐点 89 5.1.5 曲线的渐近线 90 5.1.6 函数图形的描绘 90 *5.1.7 曲率、曲率圆与曲率半径 90 5.2 典型例题分析 91 5.2.1 题型一、洛必达法则的应用 91 5.2.2 题型二、利用单调性或极值证明不等式 94 5.2.3 题型三、函数的极值问题 96 5.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题 99 5.2.5 题型五、凹凸性问题 100 5.2.6 题型六、渐近线问题 100 5.2.7 题型七、函数图形的描绘 102 5.2.8 题型八、方程的近似解 102 *5.2.9 题型九、曲率问题 103 5.3 深化训练 104 5.4 深化训练详解 105 第6章 不定积分 113 6.1 知识要点 113 6.1.1 不定积分的定义与性质 113 6.1.2 换元积分法 113 6.1.3 分部积分法 114 6.1.4 有理函数的积分法 114 6.1.5 三角函数有理式的积分法 114 6.1.6 简单无理函数的积分法 115 6.1.7 常用积分公式表 115 6.2 典型例题分析 116 6.2.1 题型一、利用换元法、分部积分法求解不定积分 116 6.2.2 题型二、利用等式求解不定积分 120 6.2.3 题型三、利用三角替换方法求解不定积分 121 6.2.4 题型四、求解三角有理函数的不定积分 123 6.2.5 题型五、递推公式问题 124 6.2.6 题型六、分段函数问题 125 6.2.7 题型七、隐函数的积分 126 6.3 深化训练 126 6.4 深化训练详解 128 第7章 定积分 134 7.1 知识要点 134 7.1.1 定积分的概念 134 7.1.2 定积分的基本性质 135 7.1.3 积分中值定理 135 7.1.4 变上限积分函数 136 7.1.5 定积分的计算 136 7.1.6 反常积分（或广义积分） 136 7.1.7 函数 137 7.1.8 定积分的应用 137 7.1.9 几个重要的结论 139 7.2 典型例题分析 140 7.2.1 题型一、定积分的求解 140 7.2.2 题型二、 变限积分问题 141 7.2.3 题型三、积分不等式问题 142 7.2.4 题型四、积分等式问题 146 7.2.5 题型五、反常积分问题 148 7.2.6 题型六、积分的应用问题 149 7.2.7 题型七、定积分的其他问题 153 7.3 深化训练 156 7.4 深化训练详解 158 第8章 多元函数微分学 166 8.1 知识要点 166 8.1.1 二元函数的极限与连续性 166 8.1.2 偏导数 166 8.1.3 高阶偏导数 167 8.1.4 全微分 168 *8.1.5 方向导数与梯度 168 8.1.6 多元复合函数微分法 169 8.1.7 隐函数微分法 169 8.1.8 多元函数的极值 169 8.1.9 条件极值与拉格朗日乘数法 170 8.1.10 多元函数的最值 170 8.2 典型例题分析 170 8.2.1 题型一、多元函数的极限与连续问题 170 8.2.2 题型二、偏导数的概念问题 172 8.2.3 题型三、多元函数的全微分问题 174 *8.2.4 题型四、多元函数的方向导数和梯度的求解 176 8.2.5 题型五、多元函数的复合求导与隐函数求导问题 177 8.2.6 题型六、多元函数的极值和最值问题 183 8.2.7 题型七、多元函数微分学的综合问题 185 8.3 深化训练 187 8.4 深化训练详解 189 第9章 多元函数积分学 192 9.1 知识要点 192 9.1.1 二重积分的概念 192 9.1.2 二重积分的性质 192 9.1.3 直角坐标系下二重积分的计算 193 9.1.4 极坐标系下二重积分的计算 193 9.1.5 二重积分的对称性原理 194 *9.1.6 二重积分的换元公式 194 *9.1.7 三重积分的概念 195 *9.1.8 三重积分的计算 195 *9.1.9 三重积分的换元法 196 *9.1.10 三重积分的对称性原理 196 9.2 典型例题分析 197 9.2.1 题型一、二重积分的概念与性质问题 197 9.2.2 题型二、二重积分的基本计算方法 198 9.2.3 题型三、分段函数的二重积分 200 9.2.4 题型四、利用对称性原理计算二重积分 201 9.2.5 题型五、二重积分的换元积分法 205 9.2.6 题型六、二重积分的应用问题 206 9.2.7 题型七、二重积分的相关证明 207 9.2.8 题型七、二重积分的综合问题 209 *9.2.9 题型八、三重积分的性质与计算 214 9.3 深化训练 218 9.4 深化训练详解 220 第10章 常微分方程 224 10.1 知识要点 224 10.1.1 微分方程的基本概念 224 10.1.2 一阶微分方程的解法 224 10.1.3 可降阶的二阶微分方程 225 10.1.4 二阶线性微分方程解的结构 226 10.1.5 二阶常系数线性微分方程的解法 226 *10.1.6 高阶线性微分方程 227 *10.1.7 欧拉方程 227 10.2 典型例题分析 228 10.2.1 题型一、可分离变量微分方程与齐次微分方程的求解 228 10.2.2 题型二、一阶线性微分方程与伯努利方程的解法 229 10.2.3 题型三、全微分方程的解法 231 10.2.4 题型四、可降阶的二阶微分方程的解法 232 10.2.5 题型五、二阶线性微分方程解的结构 233 10.2.6 题型六、二阶常系数线性微分方程的解法 234 10.2.7 题型七、微分方程的综合问题 237 *10.2.8 题型八、微分方程建模问题 242 10.3 深化训练 245 10.4 深化训练详解 247 第11章 无穷级数 252 11.1 知识要点 252 11.1.1 数项级数的定义与性质 252 11.1.2 级数敛散性的判别 253 11.1.3 三个重要的级数 254 11.1.4 函数项级数的概念 254 11.1.5 幂级数的有关概念 255 11.1.6 幂级数的和函数的性质 255 11.1.7 初等函数展开成x?x0的幂级数 256 *11.1.8 函数项级数的一致收敛性及性质 256 *11.1.9 傅里叶级数 257 11.2 典型例题分析 259 11.2.1 题型一、正项级数敛散性的判定 259 11.2.2 题型二、任意项级数敛散性的判定 265 11.2.3 题型三、函数项级数收敛域的求解 268 11.2.4 题型四、级数收敛充要条件的应用 269 11.2.5 题型五、求解数项级数的和 273 11.2.6 题型六、幂级数收敛半径及收敛域的求解 276 11.2.7 题型七、求解幂级数的和函数 278 11.2.8 题型八、函数的幂级数展开 283 *11.2.9 题型九、傅里叶级数的相关问题 286 11.2.10 题型十、无穷级数的应用问题 287 11.3 深化训练 288 11.4 深化训练详解 291 *第12章 空间解析几何与向量代数 302 12.1 知识要点 302 12.1.1 向量的概念及线性运算 302 12.1.2 平面方程及其相关概念 303 12.1.3 直线及其表示 303 12.1.4 曲面及其表示 304 12.1.5 空间曲线 304 12.2 典型例题分析 305 12.2.1 题型一、向量的运算问题 305 12.2.2 题型二、空间直线、平面方程的求解 305 12.2.3 题型三、讨论直线与平面的位置关系 307 12.2.4 题型四、旋转曲面方程的求解 308 12.2.5 题型五、空间曲线、曲面问题 309 12.3 深化训练 310 12.4 深化训练详解 311 *第13章 曲线积分与曲面积分 313 13.1 知识要点 313 13.1.1 第一类曲线积分的概念及计算 313 13.1.2 第二类曲线积分的概念及计算 314 13.1.3 格林公式及其应用 315 13.1.4 第一类曲面积分的概念与计算 315 13.1.5 第二类曲面积分的概念与计算 316 13.1.6 高斯公式与斯托克斯公式 318 13.2 典型例题分析 319 13.2.1 题型一、第一类曲线积分的求解 319 13.2.2 题型二、第二类曲线积分的求解 319 13.2.3 题型三、格林公式的应用 322 13.2.4 题型四、第一类曲面积分的求解 328 13.2.5 题型五、第二类曲面积分 的求解 332 13.2.6 题型六、高斯公式的应用 332 13.2.7 题型七、斯托克斯公式的应用 335 13.2.8 题型八、曲线、曲面积分的实际应用 336 13.3 深化训练 338 13.4 深化训练详解 340 第二十四届北京市大学生数学竞赛试题 （经济管理类） 348 第二十五届北京市大学生数学竞赛试题 （经济管理类） 350 第五届全国大学生数学竞赛预赛试题 （非数学类） 352 第六届全国大学生数学竞赛预赛试题 （非数学类） 353 第二十四届北京市大学生数学竞赛试题 （经济管理类）解答 354 第二十五届北京市大学生数学竞赛试题 （经济管理类）解答 358 第五届全国大学生数学竞赛预赛试题 （非数学类）解答 363 第六届全国大学生数学竞赛预赛试题 （非数学类）解答 368 参考文献 372

    前言
     为了让学生更好、更快地掌握所学知识，同时结合工科类、经管类本科生参加数学竞赛和报考研究生的需要，应电子工业出版社的邀请，我们编写了高等院校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书。该丛书包括《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》、《高等数学复习指导与深化训练》、《微积分复习指导与深化训练》、《线性代数复习指导与深化训练》和《概率论与数理统计复习指导与深化训练》等辅导教材，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编。
     本书为《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》分册。自1988年第一届北京市大学生数学竞赛举办以来，到现在北京市数学竞赛已经成功举办了27届，每年的数学竞赛都吸引了北京各大高校众多优秀学生积极参与．北京市数学竞赛也由最初单一的非理科数学竞赛演化到现在包括数学专业、非数学专业、经济管理类，以及高职高专类多层次、多类别的大型赛事。值得一提的是，自2010年首届全国大学生数学竞赛举办以来，到现在已经成功举办了7届，全国数学竞赛的推出进一步加快了我国大学生数学竞赛的发展，极大地激发了大学生的数学学习热情，一方面数学竞赛提高了学生的数学学习质量，另一方面也为学生以后参加考研打下了坚实的数学基础．
     本书编写的主要目有两个：一是为了满足工科类、经管类本科生参加数学竞赛的需要；二是为了满足工科类、经管类学生考研深化训练的需要。在例题和习题选编方面，作者结合多年来数学竞赛辅导和考研辅导经验，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题习题的创新，并进行合理编排，使学生能够尽快地适应数学竞赛与考研，从容面对考试。关于教材的定位，从数学竞赛的角度来看，本教材主要是针对工科类（非数学专业）和经管类大学生数学竞赛而编写的；从考研的角度来看，本教材能够满足数学一和数学三高等数学备考的需要。
     全书共分为13章，每章包括4个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解．具体模块内容为：
     1．知识要点本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容．
     2．典型例题分析本模块创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的数学竞赛真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等脉络对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．
     3．深化训练本模块精心选编了部分具有代表性的习题以及历年的数学竞赛、考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三．
     4．深化训练详解本模块对深化训练部分给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维．
     本书的第1～4章由刘强编写，第5～7章由姜玉英编写，第8～10章由陶桂平编写，第11～13章由梅超群编写，最后由刘强负责统一定稿。
     本书在编写过程中，得到了北京工业大学程李高荣教授，北京工商大学曹显兵教授，北方工业大学刘喜波教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，中央财经大学贾尚晖教授，以及首都经济贸易大学聂力副教授、范林元博士等同事的大力支持，电子工业出版社高教分社的谭海平社长也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．
     本书可以作为工科类（非数学专业）、经管类数学竞赛的教材，也可以作为高等数学考研的参考用书，同时也可以作为本科生高等数学后继提高课程的教学用书。
     为了便于读者学习，工科类要求而经管类不要求的内容用“*”标出；难度较大的题目用“**”标出，初学者可以先略过该内容。
     由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行不吝指正。
     作者
     2017年3月