实用泛函分析基础

本书内容包括集论基础、度量空间、赋范线性空间、Banach空间理论基础、内积空间、不动点定理及其应用、非线性泛函分析基础。

第1章集论基础
1.1集与映射
1.2基数
1.2.1可数基数
1.2.2连续统基数
1.2.3基数的比较
1.3集论发展简史
第2章度量空间
2.1一致连续性与一致收敛性
2.1.1一致连续性
2.1.2一致收敛性
2.2度量空间的概念和例子
2.2.1度量空间的概念
2.2.2H61der不等式和Minkowski不等式
2.2.3度量空间的例子
2.3度量空间中的基本概念
2.3.1开集和闭集
2.3.2稠密性与可分性
2.4度量空间中的极限与完备性
2.4.1度量空间中的极限
2.4.2度量空间中的连续性
2.5紧性
第3章赋范线性空间
3.1线性空间
3.2Zorn引理
3.3赋范线性空间
3.3.1赋范线性空间的概念
3.3.2赋范线性空间中的极限
3.3.3赋范线性空间的例子
3.3.4赋范线性空间中的级数
3.3.5有限维赋范线性空间
3.4线性算子
3.4.1线性算子的概念
3.4.2有界线性算子
3.4.3线性泛函
3.4.4有限维线性空间中的线性算子和线性泛函
3.5对偶空间
3.6线性空间概念发展简史
第4章Banach空间理论基础
4.1有界变差函数
4.2Stieltjes积分
4.3Hahn-Banach定理
4.4共鸣定理
4.5弱收敛
4.5.1赋范线性空间中的序列
4.5.2有界线性算子列
4.5.3有界线性泛函列
4.5.4应用：定积分近似计算
4.6伴随算子
4.7自反空间
4.8开映射定理
4.9闭图像定理
4.10紧算子
4.11线性算子的谱理论基础
4.11.1特征值和特征向量
4.11.2有界线性算子的谱
4.11.3紧算子的Riesz-Schauder理论
第5章内积空间
5.1内积空间的概念
5.1.1有限维内积空间
5.1.2一般内积空间的概念
5.2直和分解
5.3正交集
5.3.1规范正交集
5.3.2接近规范正交集
5.4Hilbert空间中的线性泛函表示
第6章不动点定理及其应用
6.1Banach压缩映像原理及其应用
6.1.1Banach压缩映像原理
6.1.2应用1：线性方程组解的存在专享性
6.1.3应用2：微分方程解的存在专享性
6.1.4应用3：Fredholm积分方程解的存在专享性
6.1.5应用4：Volterra积分方程解的存在专享性
6.1.6应用5：隐函数的存在专享性
6.2Brouwer不动点定理及其应用
6.2.1Brouwer不动点定理
6.2.2应用：多项式根的存在性
6.3Schauder不动点定理及其应用
6.3.1全连续算子
6.3.2Schauder不动点定理
6.3.3应用：微分方程解的存在性
6.4Krasnoselskii不动点定理
第7章非线性泛函分析基础
7.1测度
7.1.1外测度
7.1.2可测集
7.2可测函数
7.2.1可测函数的概念
7.2.2可测函数的构造
7.3Lebesgue积分
7.3.1Lebesgue积分概念
7.3.2Lebesgue控制收敛定理
7.4Nemetskii算子与Urysohn算子
7.4.1Nemetskii算子
7.4.2HSlder不等式和Minkowski不等式
7.4.3Urysohn算子
7.5Banach空间中的微积分
7.5.1抽象函数的积分
7.5.2抽象函数的微分
7.5.3Frechet微分
7.5.4中值定理
7.5.5n阶Frechet微分
7.5.6Taylor中值定理
7.5.7Gateaux微分
7.6应用
7.6.1GrSnwall-Bellman不等式
7.6.2应用1：算子方程隐函数定理
7.6.3应用2：微分方程解的存在专享性
7.6.4应用3：微分方程解的(整体)存在性
7.7锥
7.7.1锥的概念
7.7.2正规锥与正则锥
7.7.3锥的进一步陛质及例子
参考文献