基础代数

本书从基础代数的基本概念开始，通过基本例子，逐步介绍群、环、模、域的基本概念和基本理论。全书共分8章。靠前章首先将全书所用到的集合与映射等基本知识进行简明扼要介绍，然后介绍半群与群、子群与陪集、循环群与变换群及群的同构、正规子群与商群、群同态与同态基本定理、群的直积。第2章介绍环的基本知识，主要内容有环的定义与基本性质，子环、理想与商环，环的同态与同态基本定理，素理想与极大理想、分式环，环的特征与素域，以及环的直和。第3章介绍交换环的因子分解理论，主要内容有专享分解环、主理想环与欧氏环以及多项式环有关专享分解性质等。第4章介绍群论的进一步理论，主要内容有群在集合上的作用、p-子群与西罗定理、有限交换群、幂零群与可解群。第5章介绍模的基本理论，主要内容有模的定义与基本性质，子模与模同态，模同态的基本定理，本质子模与多余子模，加补与交补，模的根与基座，自由模、投射模与内射模等。第6章介绍了环的进一步理论，主要内容有单环与本原环、环的Jacobson根、半单环、阿廷环与诺特环以及局部环。第7章与第8章介绍域论与伽罗瓦理论，主要内容包括扩域、分裂域、闭包和正规性、尺规作图问题、有限域、超越基、伽罗瓦理论的基本定理、多项式的伽罗瓦群、分离性、循环扩域和分圆扩域、根扩域和一般”次代数方程根的公式求解理论等。本书是基础代数的入门书籍，可作为数学专业的本科生的近世代数教材与研究生的基础代数教材，也可供相关专业的教师和科研人员参考。

前言
符号表
第1章群论
1.1集合与映射
1.1.1集合的概念
1.1.2集合的运算
1.1.3映射
1.1.4偏序集与Zorn引理
1.1.5集合的分类与等价关系
1.1.6集合的基数
习题1.1
1.2半群与群
1.2.1半群
1.2.2半群的基本性质
1.2.3群
1.2.4半群为群的等价条件
习题1.2
1.3子群与陪集
1.3.1子群定义及其性质
1.3.2生成子群
1.3.3元素的周期
1.3.4子群的陪集
习题1.3
1.4循环群与变换群及群的同构
1.4.1循环群
1.4.2群的同构
1.4.3变换群
习题1.4
1.5正规子群与商群
1.5.1正规子群
1.5.2商群
习题1.5
1.6群同态与同态基本定理
1.6.1群同态
1.6.2群的同态基本定理及同构定理
1.6.3群的自同态与自同构
习题1.6
1.7群的直积
1.7.1群的外直积
1.7.2群的内直积
1.7.3群的外直积与内直积的一致性
1.7.4多个群的外直积与内直积
习题1.7
第2章环与域
2.1环的定义与基本性质
2.1.1环和域的定义
2.1.2环的基本性质
2.1.3整环和除环
习题2.1
2.2子环、理想与商环
2.2.1子环
2.2.2理想
2.2.3商环
习题2.2
2.3环的同态与同态基本定理
2.3.1环的同态
2.3.2同态的基本性质
2.3.3环同态基本定理
2.3.4扩环定理
习题2.3
2.4素理想与极大理想、分式环
2.4.1素理想
2.4.2极大理想
2.4.3分式环
习题2.4
2.5环的特征与素域
2.5.1环的特征
2.5.2素域
习题2.5
2.6环的直和
2.6.1环的外直和
2.6.2环的内直和
2.6.3任意多个环的直积与直和
2.6.4中国剩余定理
习题2.6
第3章交换环的因子分解理论
……
习题3.1
3.2主理想环与欧氏环
3.2.1主理想环
3.2.2欧氏环
习题3.2
3.3多项式环
3.3.1多项式环与未定元
……
3.3.3因式分解与多项式的根
习题3.3
第4章群的进一步讨论
4.1群在集合上的作用
4.1.1群在集合上作用的定义
4.1.2轨道与稳定子群
4.1.3伯恩赛德引理
习题4.1
4.2p—群与西罗定理
4.2.1p—群
4.2.2西罗定理
习题4.2
4.3有限交换群
4.3.1有限交换群的结构
4.3.2有限生成阿贝尔群
习题4.3
4.4幂零群与可解群
4.4.1幂零群
4.4.2可解群
4.4.3正规序列和亚正规序列
习题4.4
第5章模论
5.1模的定义与基本性质
5.1.1左模
5.1.2双模
习题5.1
5.2子模与模同态
5.2.1子模
5.2.2子模的和与直和
5.2.3同态
5.2.4子模格与模的自同态环
习题5.2
5.3模同态的基本定理、模的直积与直和
5.3.1模同态的基本定理
5.3.2模的直积与直和
5.3.3模的同态正合列
习题5.3
5.4本质子模与多余子模、合成列
5.4.1本质子模与多余子模
5.4.2模的合成列
习题5.4
5.5加补与交补、半单模
5.5.1加补与交补
5.5.2半单模
习题5.5
5.6根与基座
5.6.1模的根与基座
5.6.2阿廷模与诺特模
习题5.6
5.7自由模、投射模与内射模
5.7.1自由模
5.7.2投射模与内射模
5.7.3投射模的对偶基引理
5.7.4内射模的贝尔判别法
习题5.7
5.8投射盖与内射包
5.8.1可除阿贝尔群
5.8.2模的内射扩张
5.8.3模的投射盖与内射包
习题5.8
5.9有限生成模和有限余生成模
5.9.1有限生成模与有限余生成模的特征
5.9.2主理想环上的有限生成模
习题5.9
……
第6章环的进一步理论
第7章域论
第8章伽罗瓦理论
参考文献
索引