大学生数学手册

本手册包含三部分内容：高等数学(微积分)、线性代数、概率论与数理统计．归纳总结了三部分内容中的定义、定理、公式、法则和方法．为便于读者学习和使用，在内容的编排顺序上与同济大学版高等数学保持一致；在目录上列出了手册中的重点条目；在每一章的最后，提供了本章知识点之间的关联网络．本手册对正在学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计和复习准备考研究生的读者都有极大参考价值；此外，对于曾经学过大学数学课程，并希望在短时间内迅速复习和回忆大学数学内容的读者也具有重要的参考价值．

第1章函数极限连续1 §1？1映射与函数1 集合1 常用数集1 邻域1 映射2 函数3 函数的基本特性6 基本初等函数8 初等函数12 §1？2数列的极限及其性质13 数列13 数列极限13 数列的有界性14 收敛数列的性质14 §1？3函数的极限及其性质15 极限定义（x→x0）15 极限定义（x→∞）16 函数极限的性质17 §1？4无穷小与无穷大19 无穷小19 无穷小与函数极限关系19 无穷大19 无穷大与无穷小关系20 §1？5极限运算法则20 无穷小运算法则20 极限的四则运算法则20 §1？6极限存在准则两个重要极限21 夹逼准则21 单调数列22 单调有界准则22 两个重要极限22 §1？7无穷小的比较23 无穷小的比较23 常用等价无穷小23 等价无穷小的充要条件24 无穷小的等价代换24 §1？8函数的连续性与间断点25 函数在一点处连续定义25 函数在开区间上连续26 函数在闭区间上连续26 函数的间断点定义26 第一类间断点27 第二类间断点27 连续函数的和、差、积、 商的连续性27 反函数的连续性28 复合函数的极限运算法则28 复合函数的连续性29 基本初等函数的连续性29 初等函数的连续性29 闭区间上连续函数的性质29 本章知识点及其关联网络30 第2章导数与微分31 §２？1导数概念31 导数定义31 导数定义式的不同形式32 左导数定义32 右导数定义32 单侧导数32 函数在一点可导的 充要条件32 导数几何意义32 切线与法线33 开区间内可导33 闭区间上可导33 导函数定义33 可导性与连续性的关系33 高阶导数定义34 §2？2函数的求导法则34 导数四则运算法则34 反函数求导法则35 复合函数求导法则35 隐函数求导法则35 对数求导法则36 参数方程求导法则37 常数和基本初等函数的导数公式39 常用高阶导数公式39 相关变化率40 §2？3函数微分概念与微分运算法则41 微分定义41 可微的充分必要条件42 函数在任意点的微分42 基本初等函数的微分公式42 函数和、差、积、商的微分 法则44 复合函数微分法则44 本章知识点及其关联网络45 第3章微分中值定理与导数应用46 §3？1微分中值定理46 费马引理46 罗尔定理46 拉格朗日中值定理46 拉格朗日中值定理推论46 柯西中值定理46 泰勒公式47 §3？2导数应用49 极限的未定式49 洛必达法则49 函数单调性判别法则51 函数凹凸性定义51 函数拐点定义52 函数凹凸性判别法53 函数极值定义53 函数极值的必要条件53 函数极值第一充分条件53 函数极值第二充分条件54 函数极值第三充分条件54 曲线的渐近线54 曲线的弧微分公式55 曲率公式56 本章知识点及其关联网络57 第4章不定积分58 §4？1不定积分的概念与性质58 原函数定义58 不定积分定义58 积分曲线59 不定积分性质59 §4？2不定积分的计算方法59 直接积分法60 换元积分法60 分部积分法61 基本积分公式61 §4？3特殊函数的不定积分63 (1)有理函数的积分63 有理函数63 有理函数真分式的部分分 式之和公式64 有理函数积分法65 (2)三角函数有理式的积分65 三角函数有理式65 三角函数有理式积分法65 (3)简单无理函数的积分66 简单无理函数66 简单无理函数积分法66 常见的无法用初等函数 表示的不定积分66 本章知识点及其关联网络67 第5章定积分68 §5？1定积分的概念与性质68 定积分定义68 可积的充分条件69 关于定积分的两点规定70 定积分性质70 §5？2微积分基本公式72 积分上限函数定义72 积分上限函数的性质73 牛顿？莱布尼兹公式73 §5？3定积分的计算74 定积分的换元积分法74 定积分的分部积分法75 定积分的几个常用结果75 §5？4反常积分76 无穷限的反常积分定义76 无穷限反常积分的计算78 无界函数反常积分的定义79 无界函数反常积分的计算80 本章知识点及其关联网络82 第6章定积分应用83 §6？1定积分元素法83 定积分元素法83 §6？2几何应用84 (1)平面图形面积84 直角坐标系中平面图 形面积84 极坐标系中平面图形面积85 (2)空间体的体积86 旋转体的体积86 平行截面面积已知的 空间体的体积86 (3)平面曲线弧长87 平面曲线弧长的定义87 曲线弧长公式88 §6？3物理应用89 变力沿直线做功89 水压力90 引力91 §6？4平均值94 函数的平均值94 函数的均方根94 本章知识点及其关联网络95 第7章空间解析几何与向量代数96 §7？1空间直角坐标系96 空间直角坐标系96 空间点的坐标97 空间两点间的距离公式98 §7？2空间向量及其运算98 向量98 空间点M的向径98 自由向量99 向量a与b相等99 向量a与b平行99 向量的模99 单位向量99 向量加法99 向量加法的运算算律100 负向量101 向量的差101 向量与数的乘法101 向量与数的乘法运算算律101 向量平行的充分必要条件102 非零向量的单位化102 §7？3向量的坐标102 向量坐标102 向量加法、减法和数乘运 算的坐标表示102 向量a//b的坐标表示103 向量模的坐标表示103 两向量的夹角103 向量的方向角103 向量的方向余弦及其性质103 向量在轴上的投影104 投影定理104 投影性质104 §7？4数量积向量积混合积105 (1)向量的数量积105 数量积定义105 数量积的性质106 数量积的运算算律106 数量积的坐标表示106 两个向量夹角余弦 的坐标表示106 (2)向量的向量积107 向量积定义107 向量积的性质107 向量积的运算算律107 向量积的坐标表示107 (3)向量的混合积108 混合积的定义108 混合积的坐标表示108 混合积的几何意义108 §7？5空间曲面及其方程109 曲面方程的概念109 旋转曲面109 旋转曲面方程109 柱面110 空间曲面的参数方程111 二次曲面111 二次曲面方程111 §7？6空间曲线及其方程112 空间曲线112 空间曲线的一般方程112 空间曲线的参数方程112 空间曲线在坐标面 上的投影113 §7？7平面及其方程113 平面的法向量113 平面的一般方程113 平面的点法式方程113 平面的截距式方程114 平面的两点式方程114 平面束方程114 两平面的夹角114 两平面垂直的条件115 两平面平行的条件115 平面外一点到平面的距离115 §7？8空间直线及其方程115 直线的方向向量115 空间直线的一般方程115 空间直线的对称式方程116 空间直线的参数方程116 两直线的夹角116 两直线夹角的余弦公式117 直线与平面的夹角117 直线与平面夹角的公式117 直线外一点到直线的距离117 本章知识点及其关联网络118 第8章多元函数微分法及其应用119 §8？1多元函数的基本概念119 坐标平面119 平面点集119 平面上两点间的距离119 平面上点P0的δ邻域120 平面上点P0 的去心δ邻域120 内点120 外点120 边界点与边界120 聚点121 开集121 闭集121 连通集121 区域(或开区域)121 闭区域122 有界点集和无界点集122 二元函数定义122 n元函数定义122 二元函数极限定义123 二元函数连续定义123 二元函数间断点定义124 多元连续函数的和、差、 积、商的连续性124 多元连续函数的复合 函数的连续性124 多元初等函数的概念124 多元初等函数的连续性124 有界闭区域上连续 函数的性质125 §8？2偏导数126 二元函数偏导数定义126 二元函数偏导数的 几何意义127 二元函数高阶偏导数概念128 二阶混合偏导与求导顺 序无关的条件129 §8？3全微分129 二元函数的偏增量与 偏微分的概念129 二元函数的全增量与全 微分的定义129 全微分存在的必要条件130 全微分存在的充分条件130 n元函数全微分的表达式131 §8？4多元复合函数的求导法则131 中间变量均为一元函 数的情形131 中间变量均为多元函 数的情形132 中间变量既有一元函数又 有多元函数的情形133 全微分形式的不变性133 §8？5隐函数的求导公式134 单一方程情形134 方程组情形135 多元反函数求导公式136 §8？6微分在几何上的应用139 空间曲线的切线概念139 空间曲线的切向量140 空间曲线的切线方程140 空间曲线的法平面 及其方程140 其他形式的空间曲线方程 的切线与法平面方程140 曲面的切平面和法 线的概念142 曲面法向量的概念142 曲面的切平面与法线方程143 曲面法向量的方向余弦144 二元函数全微分 的几何意义145 §8？7方向导数与梯度145 方向导数定义145 方向导数的存在条件 和计算公式146 梯度的概念146 梯度与方向导数的关系147 §8？8多元函数的极值及其求法148 二元函数极值的定义148 极值的必要条件149 极值的充分条件149 条件极值与无条件极值150 拉格朗日乘子法150 本章知识点及其关联网络①(多元函数微分法)152 本章知识点及其关联网络②(多元函数微分法应用)153 第9章重积分154 §9？1二重积分的概念与性质154 二重积分定义154 二重积分性质155 §9？2二重积分的计算法 157 直角坐标系中二重 积分的计算157 极坐标系中二重 积分的计算159 二重积分换元定理161 §9？3三重积分162 三重积分定义162 三重积分性质163 直角坐标系中三重 积分的计算163 柱坐标系中三重积 分的计算166 球坐标系中三重积 分的计算168 §9？4重积分应用171 (1)几何应用171 曲面面积171 (2)物理应用172 质心坐标172 转动惯量174 引力175 本章知识点及其关联网络178 第10章曲线积分与曲面积分179 §10？1对弧长的曲线积分179 对弧长曲线积分的定义179 对弧长曲线积分存在 的充分条件180 对弧长曲线积分的性质180 对弧长曲线积分的 计算公式182 对弧长曲线积分的 计算步骤183 §10？2对坐标的曲线积分183 对坐标曲线积分的定义183 对坐标曲线积分的 向量表达式185 对坐标曲线积分存 在的充分条件185 对坐标曲线积分的性质186 对坐标曲线积分的 计算公式186 对坐标曲线积分的 计算步骤188 两类曲线积分之间的联系189 §10？3格林公式190 单连通域与复连通域190 平面区域边界的正方向190 格林公式190 曲线积分与路径无 关的概念191 曲线积分与路径无 关的等价条件191 曲线积分与路径无关 的充分必要条件191 二元函数全微分求 积的概念192 二元函数全微分求积 的条件与方法192 §10？4曲线积分的应用194 (1)几何应用194 弧长的计算194 柱面的面积195 (2)物理应用195 线状物体的质量195 线状物体的质心196 线状物体的转动惯量197 变力沿曲线作功197 §10？5对面积的曲面积分198 对面积曲面积分的定义198 对面积曲面积分存 在的充分条件199 对面积曲面积分的性质199 对面积曲面积分的计算 步骤和计算公式200 §10？6对坐标的曲面积分202 有向曲面的概念202 有向曲面的方向202 有向曲面在坐标 面上的投影203 对坐标曲面积分的定义203 对坐标曲面积分存在 的充分条件205 对坐标曲面积分的性质205 对坐标曲面积分的计算 步骤和计算公式207 两类曲面积分之间的联系208 §10？7高斯公式通量和散度209 高斯公式209 通量和散度210 §10？8斯托克斯公式环流量和旋度210 斯托克斯公式210 环流量和旋度211 §10？9曲面积分的应用212 (1)几何应用212 空间曲面面积212 (2)物理应用212 曲面状物体的质量212 曲面状物体的质心213 面状物体的转动惯量213 本章知识点及其关联网络①(曲线积分)214 本章知识点及其关联网络②(曲面积分)215 第11章无穷级数216 §11？1常数项级数的概念和性质216 常数项级数定义216 级数的前n项和数列216 级数收敛和发散定义216 级数余项定义217 收敛级数的基本性质 217 级数收敛的必要条件218 柯西审敛原理218 §11？2常数项级数的审敛法218 正项级数定义218 正项级数收敛的充 分必要条件218 正项级数的比较审敛法219 正项级数的比较 审敛法推论219 三个重要级数的敛散性220 正项级数比较审敛法 的极限形式220 正项级数的极限审敛法221 正项级数的比值 审敛法（ 达朗贝尔 ( D’Alembert) 判别法）221 正项级数的根值 审敛法（柯西 (Cauchy) 判别法）222 交错级数定义222 交错级数审敛法 （莱布尼兹定理）222 绝对收敛和条件收敛222 绝对收敛级数的性质223 §11？3幂级数224 函数项级数定义224 函数项级数的收 敛域和发散域224 函数项级数的和 函数及余项225 幂级数226 阿贝尔（Abel）定理226 阿贝尔（Abel）定理推论226 幂级数的收敛半径、 收敛区间和收敛域 226 幂级数收敛半径的求法227 幂级数的四则运算227 幂级数和函数的性质229 泰勒级数230 麦克劳林级数231 函数展成泰勒级数231 常用函数的麦克劳林级数231 §11？4函数项级数的一致收敛性232 函数项级数的一致收敛性232 函数项级数一致收 敛性的判别法（维 尔斯特拉斯 （Weierstrass）判别法）233 一致收敛级数的性质233 幂级数的一致收敛性235 §11？5复数项级数和欧拉公式235 复数项级数235 复数项级数的收敛性236 复数项级数的绝对收敛性236 欧拉（Euler）公式236 §11？6傅里叶级数237 三角级数237 傅里叶级数237 收敛定理（狄利 克雷（Dirichler） 充分条件）237 奇函数与偶函数的 傅里叶系数238 正弦级数238 余弦级数238 以2l为周期的函数的 傅里叶级数239 本章知识点及其关联网络 ①(数项级数)241 本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数）242 第12章微分方程243 §12？1微分方程的基本概念243 微分方程定义243 微分方程的阶243 n阶微分方程的一般形式243 微分方程的解243 微分方程的初始条件244 微分方程的通解和特解244 微分方程的积分曲线244 §12？2一阶微分方程244 可分离变量的微分 方程及其解法244 齐次方程及其解法244 一阶线性微分方程245 一阶线性齐次微分 方程的通解245 一阶线性非齐次微分 方程的通解246 伯努利方程246 伯努利方程解法246 全微分方程247 全微分方程解法247 积分因子247 §12？3高阶可降阶微分方程248 y(n)=f(x)型的 微分方程248 y″=f(x,y′)型的微 分方程248 y″=f(y,y′)型的微分方程248 §12？4高阶线性微分方程249 二阶线性微分方程249 二阶齐次线性微分方程 解的叠加原理249 函数的线性相关与 线性无关249 二阶齐次线性微分方 程的通解结构250 n阶齐次线性微分方程 的通解结构250 二阶非齐次线性微分方 程的通解结构250 二阶非齐次线性微分方 程解的叠加原理251 §12？5常系数齐次线性微分方程251 二阶常系数齐次线 性微分方程251 二阶常系数齐次线性微分 方程的特征方程252 二阶常系数齐次线性微分 方程的求解步骤252 n阶常系数齐次线 性微分方程252 n阶常系数齐次线性微分方 程的特征方程253 n阶常系数齐次线性微 分方程的通解253 §12？6常系数非齐次线性微分方程254 二阶常系数非齐次线 性微分方程254 f(x)=eλxPm(x)型254 f(x)=eλx［Pl(x)cosωx +Pn(x)sinωx］型254 本章知识点及其关联网络256 第13章行列式257 §13？1行列式的概念257 排列257 排列的逆序与逆序数257 n阶行列式的定义257 几种特殊行列式的值258 §13？2行列式的基本性质259 行列式的基本性质259 余子式和代数余子式263 §13？3行列式按行（列）展开定理263 行列式按行(列)展开定理263 范德蒙行列式264 §13？4克莱姆法则解线性方程组264 克莱姆法则264 克莱姆法则的等价定理265 本章知识点及其关联网络266 第14章矩阵及其运算267 §14？1矩阵的概念267 矩阵定义267 几种特殊矩阵267 §14？2矩阵的运算269 矩阵的线性运算269 矩阵线性运算的性质269 矩阵的乘法270 矩阵乘法满足的运算规律270 方阵的幂271 方阵的幂的运算规律271 矩阵的转置271 矩阵转置的运算规律272 方阵的行列式272 方阵的行列式的运算性质272 共轭矩阵272 共轭矩阵的运算规律272 对称矩阵272 反对称矩阵272 伴随矩阵273 §14？3逆矩阵273 逆矩阵的定义273 可逆的充分必要条件274 逆矩阵的运算性质274 矩阵方程的求解274 逆矩阵的求法275 §14？4矩阵的初等变换276 矩阵初等变换定义276 等价矩阵276 等价的性质276 初等矩阵276 初等矩阵的性质279 §14？5矩阵的秩281 r阶子式281 矩阵秩的定义281 矩阵秩的性质281 利用初等变换求矩阵的秩282 §14？6分块矩阵法282 分块矩阵定义282 常用分块法282 分块矩阵的运算284 本章知识点及其关联网络289 第15章向量组的线性相关性290 §15？1向量及其线性运算290 向量的定义290向量的线性运算…………………290 两向量的相等290向量线性运算的性质……………291 §15？2向量的线性相关性292 线性组合292 向量的线性表示292 向量能由一组向量线性表 示的充分必要条件292 两个向量组的线性 表示与等价292 两个向量组的线性表示与 等价的充要条件293 线性相关与线性无关293 向量的线性相关性 的判别定理293 向量线性相关性的 几个重要定理294 向量线性相关性的 几个重要结论295 §15？3优选无关组与向量组的秩295 优选无关组定义295 向量组的秩296 向量组的秩的重要定理296 §15？4向量空间296 向量空间296 向量空间的基297 向量空间的维数297 向量在某组基下的坐标297 子空间298 基变换公式298 坐标变换公式299 §15？5向量的内积299 向量的内积299 向量的长度300 柯西施瓦兹不等式301 两向量的夹角301 正交向量组的性质301 §15？6标准正交基与正交矩阵301 标准正交基301 施密特正交化方法301 正交矩阵302 正交矩阵的性质302 本章知识点及其关联网络304 第16章线性方程组305 §16？1齐次线性方程组305 齐次线性方程组305 齐次线性方程组 有解的判别306 齐次线性方程组解的性质306 齐次线性方程组 的基础解系306 齐次线性方程组解的结构306 齐次线性方程组的求解（利用 矩阵的初等变换）步骤306 §16？2非齐次线性方程组307 非齐次线性方程组307 非齐次线性方程组 有解的判别308 非齐次线性方程组 解的性质308 非齐次线性方程组 解的结构309 解n元非齐次线性方程 组的步骤309 本章知识点及其关联网络310 第17章特征值特征向量311 §17？1特征值、特征向量及其性质311 方阵的特征值、特征向量311 特征矩阵，特征多项式， 特征方程311 特征值、特征向量的求法312 特征值、特征向量的性质312 §17？2相似矩阵313 相似矩阵313 相似矩阵的性质313 §17？3矩阵可对角化的条件315 矩阵可对角化…………………315矩阵可对角化的条件315 §17？4实对称矩阵的对角化315 实对称矩阵的性质315 本章知识点及其关联网络317 第18章二次型及其标准形318 §18？1二次型的矩阵表示，合同矩阵318 二次型318 二次型的矩阵318 标准形319 合同矩阵319 合同矩阵的性质319 线性变换320 §18？2线性变换化二次型为标准形321 配方法321 正交变换法321 用正交变换法化二次型 为标准形的步骤322 惯性定理322 §18？3正定二次型、正定矩阵323 正定二次型、正定矩阵323 n元二次型 f(X)=XTAX是 正定二次型（n阶矩阵 A 是正定矩阵）323 n元二次型 f(X)=XTAX是 负定二次型（n阶矩阵 A是负定矩阵）324 n元二次型 f(X)=XTAX是 半正定二次型（n阶矩阵 A是半正定矩阵）325 本章知识点及其关联网络326 第19章随机事件与概率327 §19？1随机试验327 随机现象327 随机试验327 §19？2样本空间、随机事件327 样本空间与样本点327 随机事件328 事件的关系和运算328 事件的运算算律329 §19？3频率与概率330 频率330 频率的性质331 概率的统计定义331 概率的公理化定义331 概率的性质332 §19？4等可能概型（古典概率）333 古典概型333 概率的计算公式333 古典概率的性质333 几何概率334 §19？5条件概率335 条件概率定义335 条件概率的性质335 乘法公式335 划分（完备事件组）336 全概率公式336 贝叶斯公式（Bayes） （逆概率公式）336 §19？6独立性337 两事件的独立性337 三事件的独立性337 n个事件的相互独立性338 本章知识点及其关联网络339 第20章随机变量及其分布340 §20？1随机变量340 随机变量………………………340 §20？2离散型随机变量及其分布律340 离散型随机变量340 分布律340 常见的离散型分布341 §20？3随机变量的分布函数342 分布函数的定义342 分布函数的性质342 §20？4连续型随机变量及其概率密度343 连续型随机变量343 连续型随机变量的性质343 常见的连续型分布343 §20？5随机变量函数的分布348 离散型随机变量 函数的分布348 连续型随机变量函 数的分布348 本章知识点及其关联网络350 第21章多维随机变量351 §21？1二维随机变量351 二维随机变量定义351 联合分布函数351 二维离散型随机变量352 二维连续型随机变量353 §21？2边缘分布354 边缘分布函数354 边缘分布律354 边缘概率密度355 §21？3条件分布355 条件分布律355 条件概率密度356 §21？4相互独立的随机变量356 二维随机变量相互 独立的定义356 随机变量相互独立的 判别方法356 两个重要的二维分布357 §21？5二维随机变量的函数的分布359 Z=X+Y的分布(二维随机变 量和的分布)359 M=max{X，Y}及N= min{X，Y}的分布(两个随 机变量的优选最小分布)360 本章知识点及其关联网络362 第22章随机变量的数字特征363 §22？1数学期望（简称均值）363 离散型随机变量的 数学期望363 连续型随机变量的 数学期望363 随机变量函数的数学期望364 数学期望的性质365 §22？2方差366 方差的定义366 方差计算公式366 方差的性质366 常见随机变量的 期望和方差366 §22？3协方差及相关系数367 协方差定义367 协方差的性质367 相关系数368 相关系数性质368 不相关368 §22？4矩369 k阶矩369 k阶中心矩369 混合原点矩369 混合中心矩369 本章知识点及其关联网络370 第23章大数定律与中心极限定理371 §23？1大数定律371 切比雪夫不等式371 大数定律371 §23？2中心极限定理372 独立同分布的中 心极限定理372 棣莫弗？拉普拉斯定理373 本章知识点及其关联网络375 第24章样本及抽样分布376 §24？1随机样本376 总体376 样本376 样本的分布376 §24？2抽样分布377 统计量377 常用统计量377 χ2分布（卡方分布）378 t分布380 F分布381 正态总体的样本 均值的分布383 正态总体的样本 方差的分布383 正态总体的样本均值与 样本方差关系的分布383 两正态总体的样本均值 差和方差比的分布384 本章知识点及其关联网络385 第25章参数估计386 §25？1点估计386 点估计的定义386 矩法估计法387 似然函数…………………………387优选似然估计法388 §25？2估计量的评选标准390 无偏性390 有效性390 相合性(一致性)390 §25？3区间估计391 置信区间391 寻求置信区间的方法391 §25？4正态总体均值与方差的区间估计392 单个正态总体均值 的区间估计392 单个正态总体方差 的区间估计393 两个正态总体均值 差的置信区间393 两个正态总体方差 比的置信区间394 §25？5（0？1）分布参数的区间估计394 §25？6单侧置信区间395 本章知识点及其关联网络396 第26章假设检验397 §26？1假设检验397 假设检验397 显著性检验398 假设检验的步骤398 假设检验的几种检验法398 §26？2正态总体均值的假设检验399 单个正态总体均值 的假设检验399 两个正态总体均值差 异的显著性检验400 §26？3正态总体方差的假设检验401 单个正态总体方差 的假设检验401 两个正态总体方差的齐 性检验( F检验法) 402 本章知识点及其关联网络403 附表404 附表1标准正态分布表404 附表2泊松分布表406 附表3t分布表409 附表4Χ2分布表412 附表5Ｆ分布表417