数学物理方程

本书总共有五章。第一章主要介绍了几类重要偏微分方程的推导过程以及导出这些方程的常用方法。第二章重点介绍了求解一阶偏微分方程局部解的特征法。第三章重点介绍了两个独立变量半线性二阶偏微分方程和多个独立变量常系数半线性偏微分方程的分类。第四章介绍了求解二阶线性偏微分方程定解问题的常用方法。第五章主要介绍了研究线性偏微分方程解的定性理论的常用方法,重点讲解研究偏积分方程解的专享性和稳定性的能量法和极值原理。

第1章基本方程的推导和定解问题
1.1一维波方程的推导和定解问题
1.1.1弹性弦一维横振动方程的推导和定解问题
1.1.2弹性杆一维纵向振动运动方程和定解条件
1.2热方程的推导及定解问题
习题1.1
1.3Laplace方程
1.4变分原理
1.4.1弹性薄膜的平衡最小势能原理
1.4.2弹性薄膜的微小横振动Hamilton稳定作用原理
习题1.2
1.5流体连续性方程
1.6偏微分方程相关概念
1.6.1多重指标
1.6.2偏微分方程定义及简单分类
1.6.3常见的PDE
1.6.4定解问题的适定性
习题：1.3
第2章一阶偏微分方程特征理论
2.1一阶线性PDE特征法
2.1.1一阶线性PDE边值问题
2.1.2一阶线性非齐次传输方程
2.2一阶非线性PDE特征法
2.2.1寻找特征
2.2.2解的局部存在专享性
2.2.3特征法的应用
习题2.1
第3章二阶半线性偏微分方程的分类与化简.
3.1两个独立变元二阶半线性偏微分方程的分类与化简.
3.1.1方程的分类
3.1.2化简标准型
习题3.1
3.2多个独立变元二阶半线性方程的分类
3.2.1多个独立变元二阶半线性方程的分类标准
3.2.2常系数二阶半线性方程的化简
习题3.2
第4章二阶线性偏微分方程常用解法
4.1两个独立变元双曲型方程特征法
4.1.1u=0的情形
4.1.2几类二阶线性齐次双曲第二标准型的通解
习题4.1
4.2分离变量法
4.2.1线性齐次方程带线性齐次边界情形
4.2.2波方程混合问题的分离变量法
4.2.3热方程混合问题的分离变量法
4.2.4线性椭圆型方程边值问题的分离变量法
4.2.5线性非齐次问题的齐次化
习题4.2
4.3Sturm—Liouville问题
4.3.1自共轭微分算子
4.3.2Regular-Sturm—Liouville问题
习题4.3
4.4波方程初值问题
4.4.1一维波方程情形d'Alembe公式
4.4.2三维波方程初值问题球面平均
4.4.3二维波方程初值问题降维法
4.4.4一维波方程半直线问题延拓法
习题4.4
4.5热方程Cauchy问题Fourier变换
4.5.1Fouriel变换
4.5.2热方程Cauchy问题
4.5.3热方程半直线问题延拓法
4.5.4Fourier正弦变换和余弦变换
习题4.5
第5章二阶线-陛偏微分方程解的定性理论
5.1双曲型方程能量估计
5.1.1波方程初值问题解的物理解释Huygens原理
5.1.2双曲型方程能量估计解的适定性
5.1.2.1混合问题能量估计
5.1.2.2Cauchy问题能量估计
习题5.1
5.2椭圆型方程能量估计
5.2.1边值问题的专享性
5.2.2边值问题的稳定性
习题5.2
5.3Laplace方程的基本解极值原理Green函数
5.3.1Laplace方程基本解
5.3.2调和函数的平均值公式和极值原
5.3.3调和函数的性质
5.3.4Poisson方程边值问题解的Green函数表示
习题5.3
5.4线性椭圆型方程极值原理
5.4.1弱极值原理Dirichlet边值问题逐点先验估计
5.4.2Hopf引理
5.4.3强极值原理混合边值问题逐点先验估计
习题5.4
5.5抛物型方程能量估计极值原理
5.5.1混合问题的能量估计
5.5.2热方程极值原理与逐点估计
5.5.3线性抛物型方程极值原理
5.5.4抛物型方程解的正性扰动的无限传播
5.5.5Cauchy问题
5.5.6热方程逆时间问题的不适定性
习题5.5
参考文献
索引