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内容简介

本书是向中学教师和一般读者普及拓扑学知识的一本读物。它尽力避开严格抽象的理论，力求通过一些有趣的问题，运用通俗的语言，形象而直观地描述拓扑学中的一些基本的概念、事实和方法，包括多面体的欧拉公式，七桥问题和地图着色问题，约当曲线定理，曲面，基本群和同调群的直观描述，以及突变理论简介等。
本书可供中学教师，大学生以及对数学有兴趣并想知道拓扑学是什么的读者阅读，也可作为高师院校数学教育专业的选修课教材，教育学院也可用它对中学教师进行继续教育。

前言
第一章  什么是拓扑学
  1  从欧几里得几何学到拓扑学
  2  连续性
    习题一
  3  几个最简单的拓扑不变量
    习题二
第二章  多面体的欧拉公式
  1  简单多面体
  2  欧拉公式的几种证法
    习题三
    附录一  欧拉公式的发现
  3  五种正多面体
    习题四
  4  正十二面体的哈密尔顿问题
    习题五
第三章  七桥问题与地图着色问题
  1  哥尼斯堡七桥问题与一笔画
    习题六
    附录二  哥尼斯堡的七座桥
  2  五色定理和四色问题
    习题七
第四章  几个拓扑定理
  1  约当曲线定理
    习题八
  2  布劳威尔不动点定理
    习题九
  3  代数基本定理
    习题十
第五章  曲面
  1  射影平面的模型和莫比乌斯带
  2  曲面及其多边形表示
    习题十一
  3  曲面的欧拉示性数
    习题十二
    附录三  闭曲面拓扑分类的一个证明
第六章  基本群和同调群的直观描述
  1  引言
  2  道路的同伦类
  3  基本群
    习题十三
  4  同调群的直观描述
  5  闭链、边缘链和同调群
    习题十四
第七章  初等突变理论简介
  1  初等突变理论及其模型
  2  突变理论的应用举例

摘要

    靠前章  什么是拓扑学
    §1  从欧几里得几何学到拓扑学
    我们知道欧几里得几何中所研究的平面图形的性质是全等图形所共有的性质，它们与图形在平面上的位置无关，如线段的长度（即两点间的距离）、角度（包括二直线垂直及平行）、面积等等都是，它们被称为图形的度量性质．用克莱因的观点说，研究图形在全体等距变换（即保持任意两点间距离不变的变换，包括平移、旋转、轴反射以及它们的乘积，全体组成一个群）下不变的性质，就构成欧氏几何学．在等距变换下不变的性质称为图形的度量性质。
    如果我们将变换的条件放宽，不要求必须等距，只要求保持任意共线三点所成的两个有向线段的比（称为简比）不变，这种变换称为仿射变换，它可以由一连串的平行投影得到，均匀压缩变换、位似变换、错切变换都是它的特例．研究图形在全体仿射变换（也组成一个群）下不变的性质，就构成仿射几何学．两个图形若能从一个经过仿射变换变成另一个，则称它们是仿射等价的．显然，仿射等价的图形与全等图形相比容许某种程度的“失真”，即长度、角度和面积可以不同，也就是说一个图形经过仿射变换后，形状和大小一般都会发生改变，但也有些不会改变，例如平行直线还变成平行直线，平行线段的比及二个图形面积的比不会改变等．我们把经仿射变换不变的性质，称为图形的仿射性质。
    ……

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