应用高等数学

本书在保证基础知识逻辑和结构完整的前提下，以“够用、实用”为原则，弱化一些复杂定理的探讨和公式推演，以掌握概念、强化应用、培养技能为重点，重视思想方法介绍。 全书将理论知识介绍与MATLAB软件求解有机融合，变抽象为形象、变枯燥为有趣，激发学生的学习兴趣，从而提升学生借助计算机解决实际问题意识和能力。 此外，本书的每一章均设置了一个贴近生活实际、有较强的趣味性、灵活性数学建模问题，进一步提升学生对所学概念、定义的掌握，激发学生学习的热情，真正理解并应用所学知识解决实际问题，培养学生的创新和应用的能力。

本书系统地介绍了与微积分相关的数学理论知识，结构严谨、重点突出，并以数学理论知识为例介绍了MATLAB软件的使用方法，强化实践应用，注重培养学生正确运用所学数学知识解决实际问题的能力。全书共7章，内容包括预备知识、函数极限与逼近思想、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、多元函数微积分、无穷级数、微分方程及其应用等。本书每章都包含实训和练习，通过操作实践和练习，读者可巩固所学的内容。 本书可作为高职高专院校理工类相关专业的教材，也可作为全国大学生数学建模竞赛的教学和培训用书，还可作为数学爱好者的自学用书。

戴新建，男，长沙民政职业技术学院通识教育中心讲师，大数据应用工程师，湖南省高校青年骨干教师。长期从事高职教育、全国大学生数学建模竞赛培训工作，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛荣获国家一等奖3项、二等奖3项，2013年湖南省信息化教学设计大赛荣获高职数学组一等奖，参与省级课题3项，发表相关研究论文10余篇。

第1章 预备知识1
第一节映射与函数1
一、映射1
二、函数的概念4
三、函数的性质6
四、复合函数与反函数7
五、初等函数11
第二节函数思想及其应用13
一、函数思想与函数模型13
二、函数模型举例14
三、基于函数思想的程序设计15
第三节数学软件MATLAB简介17
一、MATLAB界面17
二、MATLAB基本操作18
三、MATLAB数组运算20
四、MATLAB符号运算22
五、MATLAB函数24
实训MATLAB简单程序设计25
拓展学习：椅子能在不平的地面上放稳吗28
练习129
第2章 函数极限与逼近思想32
第一节极限的概念32
一、数列极限32
二、函数极限35
第二节极限的运算37
一、极限的性质37
二、极限的四则运算法则37
三、两个重要极限39
四、无穷小与无穷大41
第三节函数的连续性44
一、连续函数的概念44
二、初等函数的连续性45
三、闭区间上连续函数的性质46
第四节逼近思想及其应用47
一、离散数据的线性拟合48
二、离散数据的多项式拟合50
实训一元函数的MATLAB绘图与非线性拟合52
拓展学习：反复学习及效率58
练习259
第3章 一元函数微分学及其应用62
第一节导数的概念62
一、导数的定义62
二、导数的几何意义64
三、可导与连续的关系65
第二节导数的运算66
一、常数和基本初等函数的导数公式66
二、导数的四则运算法则66
三、复合函数的求导法则68
四、高阶导数70
五、隐函数的及由参数方程所确定的函数的导数71
第三节函数的微分72
一、微分的概念72
二、微分公式与微分的运算法则73
三、微分在近似计算中的应用75
第四节导数的应用76
一、洛必达法则76
二、函数单调性的判定方法78
三、函数的凹凸性及拐点80
四、函数的极值及其求法81
五、函数的最值及其求法83
实训利用MATLAB求方程的
似根85
拓展学习：飞越北极90
练习393
第4章 一元函数积分学及其应用95
第一节不定积分的概念与性质95
一、原函数的概念95
二、不定积分的概念96
三、不定积分的性质97
四、不定积分的几何意义97
第二节不定积分的运算97
一、不定积分的基本公式97
二、不定积分的运算法则98
三、不定积分的方法98
第三节定积分的概念及性质106
一、曲边梯形的面积106
二、定积分的概念109
三、定积分的性质110
第四节定积分的计算111
一、变上限定积分111
二、牛顿—莱布尼茨公式112
三、定积分的换元积分法113
四、定积分的分部积分法115
第五节定积分在几何上的应用116
一、微元法116
二、直角坐标系中平面图形的面积116
三、旋转体的体积120
实训定积分的近似计算及MATLAB实现122
一、利用矩形法计算定积分的近似值123
二、利用梯形法计算定积分的近似值124
三、利用抛物线法计算定积分的近似值125
拓展学习：火箭飞出地球问题127
练习4129
第5章 多元函数微积分132
第一节多元函数的概念、极限与连续性132
一、多元函数的概念132
二、多元函数的极限133
三、多元函数的连续性134
第二节偏导数与全微分135
一、多元函数的偏导数135
二、全微分139
第三节多元复合函数与隐函数的偏导数140
一、多元复合函数的偏导数140
二、隐函数的偏导数142
第四节偏导数的应用144
一、多元函数的极值及其求法144
二、多元函数的最值及其求法147
三、多元函数的条件极值及其求法148
第五节二重积分及其应用150
一、二重积分的概念150
二、二重积分的性质151
三、二重积分的计算151
实训MATLAB多元函数图像处理及多元线性回归155
拓展学习：竞争性产品在生产、销售中的利润优选化161
练习5163
第6章 无穷级数166
第一节常数项级数的概念和性质166
一、常数项级数的概念166
二、收敛级数的基本性质170
第二节常数项级数的审敛法170
一、正项级数及其审敛法170
二、交错级数及其审敛法173
三、绝对收敛与条件收敛174
第三节幂级数174
一、幂级数及其收敛域174
二、幂级数的运算性质176
第四节函数的幂级数展开式及其应用177
一、泰勒公式177
二、将函数展开成幂级数178
三、幂级数展开式的应用181
实训利用函数的幂级数展开式进行近似计算181
拓展学习：分形几何中的Koch雪花184
练习6187
第7章 微分方程及其应用190
第一节微分方程的基本概念190
一、微分方程的定义190
二、微分方程的阶191
三、微分方程的解191
第二节一阶微分方程192
一、可分离变量的微分方程及其求解192
二、一阶线性微分方程及其求解194
三、可降阶的二阶微分方程及其求解198
第三节二阶常系数线性微分方程201
一、二阶常系数线性齐次微分方程的求解201
二、二阶常系数线性非齐次微分方程的求解205
第四节微分方程的数值解207
一、欧拉方法207
二、龙格-库塔法211
实训利用MATLAB求解常微分方程问题的典型案例215
拓展学习：人口数量增长的预测模型218
练习7223