数值分析及实验(第2版)

本书结合Matlab的使用全面介绍了常用的数值计算方法与技术。内容包括线性代数方程组的数值解法、方程（组）求根的迭代法、插值法、曲线拟合和函数逼近初步、数值微积分、矩阵特征值与特征向量的计算等，每部分均有代表性的例题和习题。本书最明显的特点是对数值分析理论部分着重阐明构造算法的基本思想与原理，既注重理论的严谨性，又注重方法的实用性。本书的读者对象，一是本科信息与计算科学、数学与应用数学专业和其他理工科的高年级学生，二是研究生中的工学硕士、工程硕士。

第二版前言
第一版前言
第1章 Matlab简介 1
1.1 向量和矩阵的产生 1
1.1.1 向量的产生 1
1.1.2 矩阵的产生 2
1.2 运算符及矩阵运算 5
1.2.1 运算符 5
1.2.2 矩阵运算 6
1.3 函数库 8
1.3.1 初等函数 8
1.3.2 矩阵函数 8
1.3.3 多项式和插值拟合函数 9
1.3.4 数值线性代数 9
1.3.5 数值积分和常微分方程数值解 10
1.4 Matlab程序设计初步 10
1.4.1 M文件 10
1.4.2 控制语句 12
1.4.3 数据的输入和输出 14
1.4.4 绘图功能 15
实验题 18
第2章 数值分析的若干基本概念 20
2.1 数值分析的研究对象 20
2.1.1 数值分析的研究对象与意义 20
2.1.2 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程 23
2.2 数值计算的误差 23
2.2.1 误差的分类 23
2.2.2 误差与有效数字 24
2.3 数值计算中误差的传播 26
2.3.1 Taylor公式、大O记号与广义积分中值定理 26
2.3.2 求函数值和算术运算的误差估计 28
2.3.3 用差商近似代替导数的误差估计 29
2.4 数值稳定性与避免误差伤害 31
2.4.1 算法的数值稳定性 31
2.4.2 数值计算中应该注意的问题 33
2.5 舍入误差与数值稳定性数值实验 35
习题 38
实验题 38
第3章 线性代数方程组的数值解法 40
3.1 引言 40
3.2 Gauss消元法 41
3.2.1 Gauss消元法的基本思想 41
3.2.2 列主元Gauss消元法 44
3.3 矩阵的直接分解法 46
3.3.1 Gauss消元法的矩阵形式 46
3.3.2 Cholesky分解法 50
3.4 三对角方程组的求解方法 52
3.4.1 解三对角方程组的算法1（基于Crout分解的追赶法） 52
3.4.2 解三对角方程组的算法2（基于Gauss消元的追赶法）54
3.4.3 解三对角方程组的算法3（递推算法）56
3.5 向量范数和矩阵范数 57
3.5.1 向量范数 57
3.5.2 矩阵范数 59
3.5.3 方程组的状态与条件数 60
3.6 解线性代数方程组的迭代法 61
3.6.1 迭代原理 62
3.6.2 Jacobi迭代法 62
3.6.3 Gauss-Seidel迭代法 63
3.6.4 超松弛（SOR）法 64
3.6.5 收敛性分析 64
3.7 数值实验 71
3.7.1 列主元Gauss消元法 71
3.7.2 方程组的状态与条件数 74
3.7.3 Jacobi与Gauss-Seidel迭代法 77
3.7.4 超松弛迭代法 81
习题 82
实验题 87
第4章 非线性方程求根、非线性方程组数值解法初步 90
4.1 问题的提出 90
4.2 区间搜索法及二分法 91
4.2.1 方程求根需注意的两个问题 91
4.2.2 区间搜索法 91
4.2.3 二分法（对分法） 91
4.3 迭代法 93
4.3.1 迭代法的基本思想 93
4.3.2 简单迭代法 93
4.3.3 迭代法局部收敛性 96
4.3.4 迭代法的收敛速度 97
4.3.5 不动点迭代算法 98
4.4 迭代加速技术 98
4.4.1 Aitken加速法 98
4.4.2 Steffensen迭代法 100
4.5 Newton法 101
4.5.1 Newton法公式的导出 101
4.5.2 Newton法的局部收敛性 102
4.5.3 Newton下山法 104
4.5.4 Newton迭代法的优缺点及算法 105
4.6 弦截法 105
4.6.1 单点弦截法 105
4.6.2 单点弦截法的收敛性 106
4.7 非线性方程组的解法 107
4.7.1 不动点迭代法 107
4.7.2 解非线性方程组的Newton法 109
4.7.3 拟Newton法 110
4.8 数值实验 113
4.8.1 二分法 113
4.8.2 不动点迭代 115
4.8.3 Aitken加速收敛方法 116开
4.8.4 Newton迭代法 117
4.8.5 弦截法 118
4.8.6 拟Newton法 119
习题 121
实验题 122
第5章 插值法 125
5.1 代数插值问题 125
5.1.1 问题的提出 125
5.1.2 插值函数的基本概念 125
5.1.3 代数插值多项式 126
5.2 Lagrange插值 127
5.2.1 Lagrange插值公式的导出 127
5.2.2 线性插值与抛物线插值 129
5.2.3 插值多项式的余项 131
5.3 差商与Newton插值公式 134
5.3.1 差商及其性质 135
5.3.2 Newton插值公式 137
5.4 差分与等距节点插值公式 139
5.4.1 差分的概念 139
5.4.2 差分与差商的关系 140
5.4.3 等距节点的插值公式 141
5.5 Hermite插值 142
5.5.1 Hermite插值问题 142
5.5.2 误差估计 144
5.6 分段低次插值 147
5.6.1 高次插值的误差分析 147
5.6.2 分段线性插值 149
5.6.3 分段线性插值的误差分析 149
5.7 三次样条插值 150
5.7.1 三次样条插值函数 151
5.7.2 三次样条插值函数的求法 152
5.8 多元函数插值 157
5.8.1 二元函数的双线性插值方法 157
5.8.2 三角形区域上的线性插值 158
5.9 数值实验 159
5.9.1 Lagrange插值多项式 159
5.9.2 高次插值的Runge现象 16开1
5.9.3 样条插值 16开1
5.9.4 多元插值 16开1
5.9.5 插值运算的MATLAB函数 16开5
习题 16开7
实验题 170
第6章 曲线拟合、函数逼近初步 171
6.1 曲线拟合的最小二乘法 171
6.1.1 最小二乘法的发现历史 171
6.1.2 最小二乘法原理 172
6.2 ‖·‖1和‖·‖∞意义下的线性拟合 178
6.2.1 ‖·‖1 意义下的线性拟合 179
6.2.2 ‖·‖∞意义下的线性拟合 179
6.3 超定方程组的最小二乘解 180
6.4 很好平方逼近 182
6.4.1 很好平方逼近问题的提法 182
6.4.2 很好平方逼近的解法 182
6.5 很好一致逼近 184
6.6 数值实验 188
6.6.1 最小二乘法 188
6.6.2 函数线性组合曲线拟合法 191
习题 193
实验题 194
第7章 数值微积分 196
7.1 数值积分问题的提出 196
7.2 插值型求积公式 197
7.2.1 插值型求积公式的导出 197
7.2.2 求积公式的代数精度 198
7.3 Newton-Cotes公式 200
7.3.1 Newton-Cotes公式的导出 200
7.3.2 误差分析 201
7.3.3 数值稳定性 202
7.3.4 复合Newton-Cotes公式 203
7.4 Romberg求积方法 204
7.4.1 Romberg算法 204
7.4.2 Romberg求积公式 206
7.5 Gauss求积公式 209
7.5.1 Gauss积分问题的提出 209
7.5.2 不带权的Gauss求积公式 210
7.5.3 带权的Gauss求积公式 215
7.6 数值微分 216开
7.6.1 Taylor展开法 217
7.6.2 插值型求导公式 219
7.7 数值实验 221
7.7.1 复合求积 221
7.7.2 Romberg求积 224
7.7.3 广义积分 225
习题 225
实验题 228
第8章 常微分方程数值解法 230
8.1 Euler法 230
8.1.1 Euler公式 230
8.1.2 隐式Euler公式 231
8.1.3 梯形公式 231
8.1.4 两步Euler法 233
8.1.5 改进的Euler法 234
8.2 Runge-Kutta方法 234
8.2.1 Taylor展开方法 234
8.2.2 Runge-Kutta方法的基本思想 236
8.2.3 二阶Runge-Kutta方法 237
8.2.4 三阶Runge-Kutta方法 238
8.2.5 四阶Runge-Kutta方法 239
8.2.6 变步长Runge-Kutta方法 240
8.3 线性多步法 241
8.3.1 线性多步法的基本思想 241
8.3.2 Adams内插公式 241
8.3.3 Adams外推公式 242
8.3.4 Adams预测校正公式 244
8.4 一阶方程组和高阶方程 244
8.4.1 一阶方程组 244
8.4.2 化高阶方程为一阶方程组 245
8.5 单步法的收敛性与稳定性 247
8.5.1 单步法的收敛性 247
8.5.2 单步法的绝对稳定性 248
8.6 数值实验 250
8.6.1 Euler方法 250
8.6.2 Runge-Kutta方法 253
习题 257
实验题 260
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 261
9.1 问题的提出 261
9.2 乘幂法和反幂法 262
9.2.1 乘幂法 262
9.2.2 乘幂法的其他复杂情况 265
9.2.3 乘幂法的加速 265
9.2.4 反幂法（又称逆代法） 267
9.3 Jacobi方法 268
9.3.1 Jacobi方法的理论依据 268
9.3.2 古典Jacobi方法 273
9.3.3 过关古典Jacobi方法 273
9.4 QR算法 273
9.4.1 Householder变换 274
9.4.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵 275
9.4.3 矩阵的正交三角分解 276
9.4.4 QR算法 277
9.5 数值实验 278
9.5.1 乘幂法 278
9.5.2 反幂法 283
习题 284
实验题 285
习题答案与提示 286
参考文献 333