全同态加密——从理论到实践

"本书以全新的视角“维数提升法”论述全同态加密算法的构造本质。全面介绍目前主流的全同态加密算法，以及全同态加密在机器学习和生物特征密文认证中的应用。 本书适合广大工程技术人员，以及高校师生和科研工作者。为业界人员提供全同态加密技术从理论到应用的全方面指导。"

本书主要针对全同态加密的设计方法进行研究。一方面，从理论上提出一些更加有效的全同态加密方案以及优化方法；另一方面，从实践角度提出分析计算全同态加密具体安全参数的方法，并且给出每个方案的具体安全参数，保证了研究的系统性与全面性。本书主要研究如何去除全同态加密设计过程中的密钥交换（key switching）过程，提出一个新的设计方法： 提升维数法。提升维数法是一个通用框架，可以设计环LWE问题上所有无须密钥交换的全同态加密方案。因此，提升维数法具有重要的理论意义。在此基础上，提出两个重要概念： 抽象解密结构与密文堆叠法，以此为理论研究工具，从解密结构中分析密文、噪声与明文之间的关系入手，实现对全同态加密构造方法的理论抽象和规律总结，从而对全同态加密的构造方法进行形式化研究，解决为什么格上能构造出全同态加密、格上已有全同态加密算法之间的关系是什么、是否存在统一的形式化描述所有算法等问题。此外，本书还对基于BinaryLWE问题设计全同态加密以及优化进行了阐述。 本书主要面向密码技术的专业人员以及相关行业的工程技术人员。对于非专业人员，第1章全同态加密入门是非常好的入门学习内容。此外，对于想学习格密码的读者，第2章深入浅出地阐述了格密码的基础理论。

第1章 全同态加密入门
1.1 全同态加密引言
1.1.1 为什么需要全同态加密
1.1.2 第一个全同态加密的诞生
1.1.3 为什么采用电路模型
1.1.4 全同态加密的构造框架
1.2 全同态加密入门
1.2.1 全同态加密的4部分
1.2.2 同态解密控制噪声
1.2.3 LWE上的全同态加密
1.3 详解同态解密思想
1.3.1 一个简化的整数上的加密算法
1.3.2 可怕的噪声
1.3.3 同态解密：一个生硬的思路
1.3.4 解密电路的复杂度
1.3.5 压缩解密电路
1.3.6 实现算法
1.4 格密码学介绍
第2章 格密码理论基础
2.1 格密码在后量子密码中的优势
2.2 数学基础知识
2.2.1 向量空间简介
2.2.2 矩阵和行列式的一些重要概念
2.3 格理论基础
2.3.1 格的定义及性质
2.3.2 格上的计算问题
2.4 构建格公钥密码系统的方法
2.4.1 陷门单向函数
2.4.2 随机格
2.4.3 构造单向哈希函数
2.4.4 构造陷门单向函数
2.4.5 格公钥密码系统的框架
2.5 LWE问题
2.5.1 LWE搜索问题
2.5.2 LWE判定问题
2.5.3 构造LWE单向哈希函数
2.5.4 构造LWE陷门单向函数
2.5.5 LWE问题的困难性
2.5.6 高斯分布
2.6 LWE私钥加密算法
2.7 LWE上公钥加密算法
2.7.1 LWE上Regev公钥加密算法
2.7.2 LWE上Regev公钥加密变形
2.7.3 LWE上多位Regev公钥加密算法
2.8 环LWE问题
2.9 基于环LWE的公钥加密
2.9.1 环LWE上公钥加密算法
2.9.2 环LWE上公钥加密算法变形
2.9.3 环LWE上的NTRU加密算法
2.10 最坏情况下的困难问题
第3章 全同态加密的噪声依赖分析与安全参数分析
3.1 全同态加密
3.1.1 全同态加密定义
3.1.2 全同态加密分类
3.2 全同态加密关键技术
3.2.1 同态解密技术
3.2.2 模交换技术
3.2.3 位展开技术
3.2.4 密钥交换
3.3 基于噪声依赖分析的全同态加密算法研究
3.3.1 噪声依赖分析方法
3.3.2 噪声增长依赖于密文中噪声的全同态加密算法：BGV算法
3.3.3 噪声增长依赖于密钥的全同态加密算法：Bra12算法
3.3.4 噪声增长依赖于密文的全同态加密算法：GSW13算法
3.3.5 算法参数尺寸与噪声增长分析比较
3.4 全同态加密具体安全参数分析
3.4.1 具体的安全参数分析方法
3.4.2 Bra12算法和GSW13算法的具体安全参数
第4章 使用提升维数法设计NTRU型无须密钥交换的全同态加密
4.1 问题的提出
4.2 解决问题的主要思想
4.3 提升维数法
4.4 环LWE上NTRU基本加密方案与扩展加密方案
4.4.1 判定小多项式比问题
4.4.2 NTRU基本加密方案
4.4.3 NTRU扩展加密方案
4.5 同态属性
4.5.1 NTRU基本加密方案的同态性
4.5.2 扩展加密方案的乘法同态性
4.5.3 扩展加密方案的加法同态性
4.6 密文同态计算的噪声分析
4.6.1 加法噪声分析
4.6.2 乘法噪声分析
4.6.3 乘法计算优化
4.7 层次型全同态加密
4.8 选择具体安全参数
4.8.1 方案的参数属性
4.8.2 具体参数
4.9 总结
第5章 使用提升维数法设计环LWE上的无须密钥交换的全同态加密
5.1 问题的提出
5.2 解决问题的主要思想
5.3 提升维数法
5.4 密文是矩阵的环LWE上的加密方案
5.5 环LWE上的扩展加密方案
5.6 环LWE上扩展加密方案的同态性
5.6.1 加法同态性
5.6.2 乘法同态性
5.7 密文同态计算的噪声分析
5.7.1 加法噪声分析
5.7.2 乘法噪声分析
5.8 环LWE上扩展加密方案上的层次型全同态加密方案
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