微积分和数学分析引论 第1卷

第一章 引言 1
1.1 实数连续统 1
a.自然数系及其扩充.计数和度量 2
b.实数和区间套 5
c.十进小数.其他进位制 7
d.邻域的定义 10
e.不等式 10
1.2 函数的概念 14
a.映射—— 图形 15
b.单连续变量的函数概念的定义.函数的定义域和值域 18
c.函数的图形表示.单调函数 20
d.连续性 24
e.中间值定理.反函数 34
1.3 初等函数 37
a.有理函数 37
b.代数函数 37
c.三角函数 38
d.指数函数和对数函数 40
e.复合函数.符号积.反函数 41
1.4 序列 44
1.5 数学归纳法 45
1.6 序列的极限 48
a. 48
b. 49
c. 50
d. 52
f.的极限之几何解释 53
g.几何级数 54
h. 55
i. 55
j.其中α>1 56
1.7 再论极限概念 56
a.收敛和发散的定义 56
b.极限的有理运算 57
c.内在的收敛判别法.单调序列 58
d.无穷级数及求和符号 60
e.数e 62
f.作为极限的数π 65
1.8 单连续变量的函数的极限概念 66
a.初等函数的一些注记 70
补篇 72
S1 极限和数的概念 73
a.有理数 73
b.有理区间套序列定义实数 74
*c.实数的顺序、极限和算术运算 75
d.实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则 77
e.最小上界和优选下界 80
f.有理数的可数性 80
S2 关于连续函数的定理 82
S3 极坐标 84
S4 关于复数的注记 85
问题 87
第二章 积分学和微分学的基本概念 102
2.1 积分 103
a.引言 103
b.作为面积的积分 104
c.积分的分析定义.表示法 105
2.2 积分的初等实例 108
a.线性函数的积分 108
b.x2的积分 110
c.xα的积分(α是不等于？1的整数) 111
d.xα的积分(α是不等于？1的有理数) 114
e.sin x和cos x的积分 115
2.3 积分的基本法则 116
a.可加性 116
b.函数之和的积分.函数与常数乘积的积分 117
c.积分的估值 118
d.积分中值定理 119
2.4 作为上限之函数的积分—— 不定积分 122
2.5 用积分定义对数 124
a.对数函数的定义 124
b.对数的加法定理 126
2.6 指数函数和幂函数 128
a.数e 的对数 128
b.对数函数的反函数.指数函数 129
c.作为幂的极限的指数函数 130
d.正数的任意次幂的定义 131
e.任一底的对数 132
2.7 x的任意次幂的积分 132
2.8 导数 134
a.导数与切线 134
……