数值计算——方法与应用

本书以MATLAB为工具，以实际问题数学模型的建立与求解为案例，介绍数值计算方法及其在实际问题中的应用。主要内容包括：MATLAB的基本操作、误差分析、曲线插值与曲面插值、曲线拟合、数值积分与数值微分、特征值与特征向量的计算、线性方程组的数值解法、非线性方程（组）的数值解法、常微分方程（组）的数值解法、综合案例讲解等。在每章方法讲解之后均附有相关应用案例分析及练习题，旨在通过理论讲解和实验操作，使学生了解和掌握数值计算中的基本概念、基本方法和相关算法，学会用数值计算方法解决实际问题，提高科学计算和程序设计能力，为专业课程的学习和参加工程应用与实践奠定必要的数学基础。
本书可作为高等院校理工科非数学专业的数值计算课程的教学用书，也可作为MATLAB数学实验和数学建模课程的教材和参考用书。

第一章 MATLAB基本操作 1
1.1 基础知识 1
1.1.1 数据类型 1
1.1.2 变量的命名 5
1.1.3 数组及其运算 6
1.1.4 运算符 12
1.1.5 基本数学函数 14
1.2 M文件概述 15
1.2.1 M文件的建立 15
1.2.2 M脚本文件 16
1.2.3 M函数文件 17
1.3 程序控制结构 21
1.3.1 顺序结构 21
1.3.2 条件结构 22
1.3.3 循环结构 26
1.3.4 交互控制命令 28
1.4 基本图形绘制 34
1.4.1 二维图形绘制 34
1.4.2 三维图形绘制 43
1.4.3 图形文件的保存 48
1.5 综合实验 48
练习一 56
第二章 误差分析 57
2.1 误差的来源 57
2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 58
2.2.1 绝对误差与相对误差 58
2.2.2 有效数字 60
2.2.3 相对误差限与有效数字之间的转换 61
2.3 误差传递与误差估计 62
2.3.1 四则运算中的误差传递 62
2.3.2 函数运算中的误差传递 62
2.3.3 数值稳定性 64
2.4 数值计算中需要注意的问题 67
练习二 69
第三章 曲线插值与曲面插值 70
3.1 曲线插值 70
3.1.1 插值多项式的概念 70
3.1.2 Lagrange插值 71
3.1.3 Newton插值 75
3.1.4 Spline插值 78
3.1.5 曲线插值的MATLAB函数 82
3.1.6 应用案例——日用水流量估计 84
3.2 曲面插值 89
3.2.1 网格点插值 89
3.2.2 散乱点插值 90
3.2.3 曲面插值的MATLAB函数 90
3.2.4 应用案例——重金属污染的空间分布 94
练习三 98
第四章 曲线拟合 102
4.1 线性最小二乘拟合 102
4.2 非线性最小二乘拟合 106
4.3 应用案例——电池放电时间的预测 110
练习四 117
第五章 数值积分与数值微分 119
5.1 数值积分 119
5.1.1 数值积分原理 119
5.1.2 插值型积分公式 120
5.1.3 复化积分公式 125
5.1.4 Romberg积分公式 128
5.2 数值微分 131
5.2.1 中点法 131
5.2.2 插值型微分公式 132
5.3 应用案例—储油罐油量标定 134
练习五 139
第六章 特征值与特征向量的计算 141
6.1 幂法 141
6.2 幂法的加速 143
6.3 反幂法 149
6.4 应用案例——普通高等教育发展水平综合评价 151
练习六 155
第七章 线性方程组的数值解法 157
7.1 线性方程组的直接解法 157
7.1.1 Gauss消元法 157
7.1.2 矩阵分解法 164
7.1.3 线性方程组求解的MATLAB函数 165
7.2 线性方程组的迭代解法 167
7.2.1 Jacobi迭代法 168
7.2.2 Gauss-Seidel迭代法 170
7.3 应用案例——古塔各层中心位置的计算 172
练习七 177
第八章 非线性方程(组)的数值解法 178
8.1 二分法 178
8.2 简单迭代法 181
8.3 Newton法 184
8.4 弦截法 186
8.5 非线性方程组的Newton迭代法 188
8.6 非线性方程(组)求解的MATLAB函数 190
8.7 应用案例——铅球投掷距离 193
练习八 196
第九章 常微分方程(组)的数值解法 198
9.1 Euler法 198
9.1.1 Euler公式 198
9.1.2 改进Euler公式 200
9.2 Runge-Kutta法 202
9.3 求解常微分方程(组)的MATLAB函数 205
9.3.1 函数dsolve 205
9.3.2 函数ode 206
9.4 微分方程组的数值求解 207
9.4.1 一阶微分方程组的求解 207
9.4.2 高阶微分方程(组)的求解 208
9.5 应用案例——屋顶檐槽设计 211
练习九 214
第十章 综合案例讲解 216
10.1 雪堆融化时间 216
10.2 飞机安全着陆 218
10.3 路灯照明 220
10.4 油罐储油量的计算 226
参考文献 235