变分方法与非线性发展方程

本书讨论变分方法在非线性发展方程理论中的应用。非线性发展方程主要关心局部解、全局解的存在性以及孤立波解的稳定性等问题。利用变分方法我们可以寻找众多的非线性发展方程的稳态解，之后根据对应的守恒律可以得到系统的轨道稳定性和不稳定性。本书主要内容包括很优控制问题中的扩散方程、量子力学问题中的非线性Schrödinger方程和非线性Dirac方程、经典和无穷维Hamilton系统。通过对这几类发展方程的研究，我们以期建立非线性发展方程的变分理论。
本书适合高等院校数学、物理专业的研究生和教师以及相关领域的科研工作人员阅读。

“非线性发展方程动力系统丛书”序
前言
第1章预备知识 1
1.1 函数空间理论 1
1.2 Sobolev 空间与嵌入定理 3
1.3 基本不等式与常用引理 9
1.4 算子半群理论 19
第2章变分方法 23
2.1 经典变分方法 23
2.2 半定问题的变分方法 29
2.3 强不定问题的变分方法 34
第3章很优控制问题 46
3.1 优化控制问题简介 47
3.2 扩散问题的解 55
3.2.1 扩散系统解的变分框架 56
3.2.2 扩散问题的几何不同解 63
3.3 扩散问题的集中行为 72
3.3.1 群作用 91
3.3.2 几何结构与g-弱紧性 93
3.3.3 自治系统 99
3.3.4 扩散问题的一些扩展 112
第4章量子力学问题 121
4.1 非线性Schrödinger 方程 121
4.1.1 算子理论回顾 121
4.1.2 非线性Schrödinger 方程的初值问题 123
4.1.3 非线性Schrödinger 方程的驻波解 127
4.1.4 非线性Schrödinger 系统半经典解 144
4.2 非线性Dirac 方程 158
4.2.1 物理背景 159
4.2.2 Dirac 算子的谱 162
4.2.3 非线性Dirac 方程的变分框架 171
4.2.4 非线性Dirac 方程的半经典极限 175
4.2.5 非线性Dirac 方程的非相对论极限 219
第5章Hamilton 系统 232
5.1 经典Hamilton 系统 232
5.1.1 周期假设下的结果 233
5.1.2 非周期假设下的结果 254
5.2 无穷维Hamilton 系统 268
5.2.1 Hilbert 空间上的近复结构与辛结构 270
5.2.2 Hamilton 向量场 272
5.2.3 Hilbert 空间上的无穷维Hamilton 系统 277
5.2.4 流形上的辛结构 277
5.2.5 Hilbert 流形上的Hamilton 向量场 279
5.2.6 Hilbert 流形上的无穷维Hamilton 系统 282
第6章孤立波解的存在性和稳定性 284
6.1 背景知识 284
6.2 稳定性的定义 285
6.3 稳定性Cazenave-Lions 方法 289
6.4 轨道稳定性Grillakis-Shatah-Strauss 方法 301
6.4.1 稳定性理论概述 302
6.4.2 轨道稳定性的证明 304
6.4.3 KdV 类型方程孤立波解的轨道稳定性 311
6.5 孤立波解的轨道稳定性和不稳定性 312
6.5.1 方程(ZK) 孤立波解的轨道稳定性和不稳定性 314
6.5.2 BBM 类型的方程的孤立波解的轨道稳定性和不稳定性 328
6.6 孤立波解的渐近稳定性 335
6.6.1 一维非线性次临界KdV 方程孤立波解的渐近稳定性 335
6.6.2 三维情况下ZK 方程孤立波解的渐近稳定性 339
6.6.3 GP 方程black 孤立波解的渐近稳定性 340
参考文献 344
“非线性发展方程动力系统丛书”已出版书目 357