数学物理方程简明教程

本书是数学物理方程的入门教材，主要介绍三个经典方程（波动方程、热传导方程和Laplace方程）定解问题的导出及求解。通过介绍一般二阶线性偏微分方程的分类与化简，指明这三个方程代表着数学物理方程的三种类型。针对不同的定解问题，介绍了如分离变量法、积分变换法、通解法和Green函数法等常规的求解方法，还介绍了由分离变量法求解定解问题时引出的两个特殊函数——Bessel函数和Legendre函数。本书没有致力于严谨的数学理论分析，而是通过经典的问题，向读者展示数学物理方程定解问题适定性的分析方法，以期达到抛砖引玉的目的。本书可作为数学类专业本科生以及工科类专业研究生的教材，也可供从事相关专业的科研和工程技术人员参考。

前言
第1章典型方程及其定解问题1
1.1偏微分方程的基本概念1
1.2典型方程及定解条件的导出2
1.2.1弦振动方程及其定解条件3
1.2.2热传导方程及其定解问题7
1.2.3位势方程及定解条件11
1.3定解问题的适定性13
习题113
第2章二阶线性偏微分方程的分类与化简15
2.1两个自变量的二阶线性偏微分方程15
2.2多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类23
习题225
第3章分离变量法26
3.1齐次边界齐次发展型方程的混合问题26
3.1.1求形式解26
3.1.2解的存在性29
3.1.3解的物理意义34
3.1.4热传导方程初边值问题35
3.2齐次边界非齐次发展型方程的混合问题36
3.2.1非齐次弦振动方程36
3.2.2非齐次热传导方程39
3.3一般发展型方程混合问题44
3.4具有第三类边界条件的混合问题举例48
3.5椭圆型方程边值问题的分离变量法55
3.5.1矩形区域上Laplace方程边值问题55
3.5.2圆域上Laplace方程第一边值问题58
3.5.3Poisson方程第一边值问题61
3.6方程中含有一阶空间导数的定解问题64
习题368
第4章积分变换法72
4.1Fourier积分与Fourier变换72
4.2Fourier变换的性质76
4.3Fourier变换在解数学物理方程中的应用78
4.3.1热传导方程问题78
4.3.2一维波动方程问题83
4.3.3半平面上Laplace方程的Dirichlet问题89
4.4Laplace变换89
4.4.1定义89
4.4.2基本性质90
4.4.3反演公式92
4.4.4Laplace变换的应用94
习题498
第5章波动方程101
5.1通解法101
5.1.1达朗贝尔公式101
5.1.2达朗贝尔公式的物理意义103
5.1.3依赖区间、决定区域和影响区域104
5.1.4通解法的例题105
5.2球面平均法108
5.2.1三维齐次方程初值问题的球面平均法108
5.2.2三维非齐次波动方程初值问题112
5.3二维齐次波动方程初值问题的降维法113
5.4依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥114
5.5Poisson公式的物理意义、Huygens原理116
习题5117
第6章椭圆型方程120
6.1δ-函数及其基本性质121
6.1.1δ-函数的定义121
6.1.2δ-函数的基本性质123
6.2椭圆型方程的基本解124
6.2.1三维Laplace方程Δu=0124
6.2.2三维Helmholtz方程Δu+cu=0126
6.3调和函数的基本积分表达式和一些基本性质128
6.3.1调和函数的基本积分表达式128
6.3.2调和函数的基本性质130
6.4Laplace方程Dirichlet问题的Green函数133
6.4.1Green函数133
6.4.2Green函数的性质135
6.5Helmholtz方程Dirichlet问题的Green函数138
6.6某些特殊区域上Laplace方程Dirichlet问题的解140
6.6.1半空间上三维Laplace方程Dirichlet问题140
6.6.2球域上Laplace方程Dirichlet问题142
习题6147
第7章发展型方程定解问题的适定性150
7.1热传导方程初边值问题150
7.2热传导方程初值问题154
7.3波动方程初边值问题158
7.4波动方程初值问题163
……