数学分析(第3册)

本书是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材。全书共分三册。第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数；第三册共五章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量积分。本书每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考。
作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果。本书注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握。
本书可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师本书也是一部很好的教学参考书。

第十三章多元函数的极限和连续1
§13.1欧氏空间Rn1
13.1.1欧氏空间Rn1
13.1.2点列极限5
13.1.3聚点8
13.1.4开集与闭集9
13.1.5欧氏空间Rn中的基本定理13
§13.2多元函数与向量函数的极限17
13.2.1多元函数的概念17
13.2.2多元函数的极限19
13.2.3累次极限22
13.2.4向量函数的定义与极限24
§13.3多元连续函数26
13.3.1多元连续函数26
13.3.2多元连续向量函数27
13.3.3集合的连通性29
13.3.4连续函数的性质30
13.3.5同胚映射33
习题十三34
第十四章多元微分学40
§14.1偏导数与全微分40
14.1.1偏导数40
14.1.2方向导数43
14.1.3全微分45
14.1.4梯度50
14.1.5向量函数的导数与全微分53
§14.2多元函数求导法57
14.2.1导数的四则运算57
14.2.2复合函数的求导法58
14.2.3高阶偏导数68
14.2.4复合函数的高阶偏导数70
14.2.5一阶微分的形式不变性与高阶微分72
§14.3泰勒公式74
§14.4隐函数存在定理79
14.4.1单个方程的情形79
14.4.2方程组的情形86
14.4.3逆映射存在定理92
§14.5多元函数的极值95
14.5.1通常极值问题95
14.5.2条件极值问题101
§14.6多元微分学的几何应用109
14.6.1空间曲线的切线与法平面109
14.6.2曲面的切平面与法线112
14.6.3多元凸函数117
习题十四120
第十五章重积分131
§15.1重积分的定义131
15.1.1Rn空间中集合的体积132
15.1.2重积分的定义136
§15.2多元函数的可积性理论与重积分的性质138
15.2.1达布理论138
15.2.2重积分的性质144
§15.3化重积分为累次积分145
15.3.1化二重积分为累次积分145
15.3.2化三重积分为累次积分152
§15.4重积分的变量替换156
15.4.1重积分的变量替换公式156
15.4.2利用变量替换计算重积分163
§15.5广义重积分168
15.5.1无穷重积分的基本概念169
15.5.2无穷重积分敛散性的判定171
15.5.3瑕重积分178
习题十五182
第十六章曲线积分与曲面积分188
§16.1第一型曲线积分188
16.1.1第一型曲线积分的定义188
16.1.2第一型曲线积分的存在性与计算公式191
§16.2第二型曲线积分195
16.2.1第二型曲线积分的定义195
16.2.2第二型曲线积分的存在性与计算公式198
§16.3第一型曲面积分202
16.3.1曲面的面积202
16.3.2第一型曲面积分的定义205
16.3.3第一型曲面积分的存在性与计算公式207
§16.4第二型曲面积分210
16.4.1曲面的侧210
16.4.2第二型曲面积分的定义212
16.4.3第二型曲面积分的存在性与计算公式215
§16.5各类积分之间的联系219
16.5.1格林公式219
16.5.2高斯公式227
16.5.3斯托克斯公式231
§16.6微分形式简介235
16.6.1微分形式235
16.6.2微分形式的外积237
16.6.3外微分242
§16.7曲线积分与路径的无关性244
§16.8场论简介254
16.8.1数量场的梯度255
16.8.2向量场的向量线256
16.8.3向量场的散度257
16.8.4向量场的旋度258
16.8.5一些重要算子259
习题十六261
第十七章含参变量积分271
§17.1含参变量定积分271
§17.2含参变量广义积分276
17.2.1含参变量无穷积分277
17.2.2含参变量无穷积分的性质283
17.2.3含参变量瑕积分288
§17.3Γ函数与B函数290
17.3.1Γ函数290
17.3.2B函数293
17.3.3Γ函数与B函数的关系294
习题十七298
部分习题答案与提示303
名词索引320