不可思议的数学 必须知道的50个数学知识

1.作者为哥伦比亚大学理学博士，数学教学经验丰富吴作乐拥有长期的教学经验，擅长总结教学成果和经验分析，针对数学系和非数学系中很多学生对于数学的接受态度和思维习惯，他结合工作经验和专业知识，撰写本书。他出版的《这才是好看的数学》获台湾第38次中小学生优秀课外读物推介奖。2.超实用！重建学数学的信心和乐趣从历史、生活中理解数学原理，如为什么Y=1/X是曲线？为什么太阳下山时会加速“掉落”？为什么三角形内角和是180度？地图中的数学奥秘；乐谱中的数学旋律；数学运算符号的由来；回归线、双曲线与抛物线都是怎么一回事？等。2.剖析本质！学数学不再死记硬背公式先看图再看数学式，先看历史、人文、艺术、应用，再来讨论数学原理，进而减少背一大堆公式的过程及大量的机械式练习，重建人们对数学学习的信心和兴趣。4.感受数学之美，消除数学恐惧症数学为哲学、绘画、音乐、经济学政治学提供强大的科学理论根基。音乐有多美，绘画有多美，数学就有多美！

大多数人认为数学很难，人为什么学数学？数学有什么用？有用在哪里？都说生活中充斥着数学，但又在哪里？我们必须知道数学是科技进步的重要一环，但数学更是人类文明的重要一环。而我们要如何学好数学？从人类学习的模式来看，以艺术领域中最抽象的音乐为例，我们到底是先学会唱歌，还是先学会看、写五线谱？毋庸置疑，我们当然是先会唱歌。但是我们的数学教育却是顺序颠倒的：要学生花最多的时间学会看、写“五线谱”（列式子，背公式，解考题），却很少给学生唱歌或听音乐的时间（看到数学，看到活生生的应用）。因此我们的方法是“先学唱歌，再学乐理”，先看图再看数学式，先看历史、人文、艺术、应用，再来讨论数学原理。进而减少背一大堆公式的过程及大量的机械式练习，重建人们对数学学习的信心和兴趣。此方法已在我的教学实践中被证明是有效的。

 

第一章
为什么学数学（一）
数学学习中常见的问题
任何事情都不要相信直觉
加一成再打九折等于原价吗？
什么是逻辑
为什么不是分数
认识定义、公理、定理，不要用公式
要命的逻辑观
树状图的思维
不讲逻辑的国家无法进步
第二章
认识古文明的数字
符号的念法与用途
什么是黄金比例
永远跑不完的一百米
圆锥曲线（一）：抛物线I
三角函数的由来
毕氏定理与
音阶的由来
第一个重要的无理数─圆周率π
圆锥、球、圆柱的特殊关系
密度的前身─排水法
密度
第三章
古时印度、阿拉伯地区、罗马的数字
中世纪的数学
神奇的河内塔游戏与棋盘放米
第四章
小数点和千记号的由来
数学运算符号的由来
锥体是柱体体积的1/3
内皮尔（Napier）的对数
笛卡尔的平面坐标
太极图是极坐标做图
认识地图─非洲比你想象的大很多
画家、数学家分不清楚
第五章
曲线下与 x 轴之间的面积－积分
曲线上该点斜率─微分
微积分是什么意思
第二个重要的无理数：欧拉数
圆锥曲线（二）
特殊的曲线
为什么角度要改成弧度
神奇的帕斯卡（Pascal）三角形
数学与音乐
第六章
数学、音乐与颜色
用电脑证明的定理：四色定理
神奇的莫比乌斯带与克莱因瓶
数学名词误用─平均所得
M型社会是什么？
期望值与保险费、核四安全性
统计学中重要的一条线：回归线
一定当选的票数怎么算
第七章
扭曲的地铁线路图
优美的旋律都是精美的数学表达
分形中体现的数学之美
自然界中充满数学原理
特殊的贝塞尔曲线
数学的现代应用
几何与危险的转弯视线死角
几何与停车格、走道的大小
第八章 其他
神奇的数字
……

     大家都说数学很重要，但又不知道数学的重要性体现在哪里，好像学完加减乘除、单位换算、分数、小数，似乎就没有再学习的 必要，那我们学习那么多数学知识是为了什么？都说数学是科学的基础，但也无法说服大家继续学数学。先看图1，了解数学如何影响我们的生活。 数学的命名源自希腊文mathema，其意义是学习、学问、科学，而后其意义演变为利用符号语言研究数量、结构、变化、空间，再者使用语言表达事物之间的关系，并用抽象化与逻辑推理，拓展出逻辑学、天文学等学问，所以数学是一切学问的基础。它涵盖的范围很广，而非只有算术、图案研究、逻辑三者。数学是理性基础，重理解而非死记硬背，所以我个人非常反对学习珠心算。珠心算是训练人的反射动作，而非理解数学，它会消磨人学习数学的热情，甚至看到数字就害怕，所以轻易不要去学珠心算。 数学好的人大多是心思细腻、考虑周严、做事逻辑性强、学东西较快、理解事物也比较快，并且可以在整件事情的每一个步骤都提出疑问，不合理就不肯继续下一步，找出问题点，能提出相对应的解决方法，具备迎接挑战、充满自信的特质。数学是研究规律的科学，经过经验、观察及推论的逻辑思考之后，进而发现真理，数学是认识世界的方法，它不只是一种计算的工具，而是与所有事情都相关的学科，如算术、科学、民主、哲学、艺术(图形、声音)、美德、工作等，接下来将一一介绍它们之间的关系。我们先介绍数学与哲学的关系。 数学与哲学 为什么说数学与哲学有关？哲学家都是逻辑思维能力很强的人，早期的哲学家大多学习逻辑以利于研究天体等，得到知识后向 外宣讲得使人信服他，所以数学与哲学具有相当密切的关系。希腊的哲学家以苏格拉底、柏拉图、亚里士多德为代表。三人为师生关系，苏格拉底是柏拉图的老师，柏拉图是亚里士多德的老师。亚里 士多德创立了亚里士多德学派，由于教学方式常为一边散步一边授 课，又被称为逍遥学派。亚里士多德研究的领域有哲学、物理学、生物学、天文学、气象科学、心理学、逻辑学、伦理学、政治学、艺术美学，几乎涵盖了当时所有的学科。 逻辑与哲学问的关系，不同的人有不同的看法。斯多葛教派认为逻辑是哲学的一部分。而逍遥派认为逻辑是哲学的先修科目。在19世纪前，逻辑、文法、哲学、心理学是同--N学问。到19世纪后，罗素认为逻辑不是哲学，而是数学。而弗雷格宣称，逻辑就是算术，其法则不是自然法则，而是自然法则的法则。也就是说逻辑是一切规则中的基础。 以今天大多数人的感觉，逻辑只是数学的一部分，用来证明数学定理。但其实我们在对话时使用的文法，正是逻辑的延伸。逻辑可以分为两个方向，一个为数学方面，另一个为逻辑基础和逻辑基本观点的分析与探讨，．现在称逻辑哲学与形而上学，这两门可被归类为哲学。当我们不去看哲学问题时，可只讨论纯逻辑部分。但我们在厘清哲学的概念时，逻辑是不可或缺的工具，所以逻辑与哲学是密不可分的。希腊人认为，学哲学要先学逻辑，而且可通过学数学来学习逻辑。 为何说学数学会带来自信?学习数学是一个认识新东西的过程，需要冒险，挑战自己的怯弱，要勇敢踏出第一步，成功将会带来成就感，失败也可磨炼自己的抗压性，并且不断训练耐性、毅力，最后成为自信的人。自信的数学系学生不屑作弊，间接培养了诚实的品格。所以学习数学可以培养一个人的很多种美德。 数学与民主 学习数学是通往民主的专享适路。 ——古希瞄哲学家柏抽图 希腊人如何训练民主素养？他们靠学习数学。 数学的思维与辩论方式是孕育民主思想的基石，数学的本质隐含学生和教师是平等的概念。因为数学的推论过程和结论都是客观的，教师不能以权威的方式要求学生接受不合逻辑的推论，学生和教师都必须遵从相同的推论过程得出客观的结论。而且这一套逻辑推论的知识，并非由权势者独占，任何人都可学得。 希腊哲学家明确指出：正确的逻辑推论能力是民主社会的游戏规则。在别的学科，例如历史学，教师的权威见解不容挑战，因为历史学并不像数学具有一套客观的逻辑推论程序。良好的数学教育可以训练学生仔细倾听以及正确且有效地进行推论的素养，而这些长期建立起来的数学素养正是民主社会公民的推荐能力。 英国教育学家柯林-汉福德曾写过：很少有历史学者知道，希腊时期的数学教育的主要目的，是为了促使公民经由逻辑推论的训练，而增强对民主制度的信念和实践，使得公民只接受经由正确逻辑推理得出的论点，而不致被政客与权势者的花言巧语牵着鼻子走。早在公元前500年，希腊文明就已深刻了解到逻辑推理是实践民主的必要条件，因而鼓励人们学习正确的逻辑推论，以对抗当权者及其律师们的修辞学(Rhetoric)的诡论。当时所谓的修辞学诡论和现代政客及媒体的语言相同，也就是以臆测、戏剧化手法、煽情的语言达到曲解事实、扭曲结论的效果。因此，当一个社会用修辞学取代逻辑推论时，民主精神就被摧毁了。