高等代数考研——高频真题分类精解300例 第2版

适合作为研究生入学考试复习用书,也适合用作高等代数教学参考书

高等代数是数学专业考研的必考课程，本书是作者在积累了多年为数学专业本科生进行高等代数考研辅导的经验的基础上编写而成的。全书共9章，包括行列式、线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间等内容。
书中对很多高校近年的高等代数考研高频真题进行了分类解析，力求使读者能够举一反三，熟悉考试中经常出现的题型，并且掌握每种题型的解法。同时对很多真题给出了多种解法，有助于开阔学生的视野与解题思路。
本书具有真题丰富、分类精解、解法多样的特点，非常适合作为研究生入学考试复习用书，也适合用作高等代数教学参考书。

第2版前言
第1版前言
第1章行列式1
1.1行列式的计算方法1
1.1.1化三角形法1
1.1.2降阶法2
1.1.3加边法7
1.1.4递推法11
1.1.5利用已知行列式15
1.1.6数学归纳法19
1.1.7定义法20
1.2行列式的计算公式22
1.3代数余子式求和问题37
1.4其他问题50
第2章线性方程组54
2.1线性方程组的基本问题54
2.1.1方程组的求解54
2.1.2方程组解的性质与结构62
2.2线性方程组的公共解与同解的定义及理论70
2.2.1公共解问题71
2.2.2同解问题72
2.2.3应用74
2.3线性方程组理论的应用80
2.4线性相关(无关)94
2.5线性方程组的反问题100
2.5.1齐次线性方程组的反问题100
2.5.2非齐次线性方程组的反问题103
2.6其他问题104
第3章矩阵108
3.1矩阵运算108
3.1.1矩阵乘法108
3.1.2方阵的幂110
3.1.3方阵的行列式116
3.1.4方阵的逆117
3.1.5矩阵方程135
3.1.6初等变换与初等矩阵138
3.2矩阵的秩139
3.2.1矩阵秩的等式与不等式139
3.2.2矩阵秩的证明问题的处理方法139
3.2.3行(列)满秩矩阵154
3.2.4秩1矩阵的性质及其应用159
3.3矩阵分解165
3.3.1利用等价标准形165
3.3.2利用合同标准形169
3.3.3利用相似标准形176
3.3.4其他176
3.4伴随矩阵179
3.4.1伴随矩阵定义及基本结论179
3.4.2伴随矩阵的性质179
3.4.3伴随矩阵的反问题183
3.4.4例题186
3.5其他问题190
第4章多项式194
4.1带余除法194
4.1.1带余除法定理194
4.1.2带余除法定理的应用194
4.2整除200
4.2.1整除的定义及性质200
4.2.2整除的证明方法201
4.3优选公因式212
4.3.1定义212
4.3.2优选公因式的性质212
4.3.3优选公因式的求解212
4.3.4优选公因式的证明方法213
4.4互素218
4.4.1定义218
4.4.2性质218
4.4.3互素的证明方法218
4.5不可约多项式222
4.5.1定义222
4.5.2性质222
4.5.3证明方法223
4.6有理数域上的不可约问题226
4.6.1基本问题226
4.6.2例题227
4.7重因式239
4.7.1定义239
4.7.2证明方法239
4.7.3例题239
4.8多项式函数与多项式的根242
4.8.1重根242
4.8.2多项式根与系数的关系246
4.8.3有理根250
4.8.4例题252
4.9其他问题256
第5章二次型260
5.1二次型的标准形与规范形260
5.2正定矩阵282
5.3半正定矩阵296
5.4同时合同对角化298
5.5实反对称矩阵309
5.5.1实反对称矩阵的性质309
5.5.2例题311
第6章线性空间317
6.1线性空间、子空间的判断及基与维数的求法317
6.2和与直和337
6.2.1维数公式337
6.2.2直和338
第7章线性变换350
7.1特殊的线性变换350
7.1.1与多项式有关的线性变换350
7.1.2幂等(对合)变换354
7.1.3幂零变换362
7.2线性映射377
7.3值域、核379
7.4不变子空间385
7.5线性变换与矩阵390
7.6特征值和特征向量392
7.6.1特征值和特征向量的定义、性质与求法392
7.6.2对角化404
7.6.3公共特征值与特征向量410
7.7其他问题419
第8章λ-矩阵421
8.1三因子、标准形、特征多项式和特征值的关系421
8.2相似矩阵的判断422
8.3同时相似对角化425
8.4若尔当标准形及应用431
8.4.1若尔当块的性质431
8.4.2若尔当标准形的应用435
第9章欧氏空间444
9.1内积444
9.2正交补子空间448
9.3正交变换与正交矩阵452
9.4对称变换464
9.5反对称变换467
9.6其他问题468
参考文献470