数学分析概论（岩波定本）

日本数学家、"日本现代数学之父"高木贞治创作的分析学入门名著 哺育小平邦彦、伊藤清等一代数学家的“数学圣经” 岩波定本特别收录 关于“Takagi函数”的解读文章 高木贞治先生是世界一流的数学家，也是一位优秀的数学教科书创作者。他编写的数学教科书，至今仍有许多学生在阅读。这本《数学分析概论》（解析概論）被誉为日本数学教科书的典范。可以说，是这本书培养出了日本所有的数学家。 ——日本岩波书店编辑部

本书为日本数学家、“日本现代数学之父”高木贞治创作的分析学入门名著。作为衔接古典与现代的集大成之作，它被誉为日本现代数学发展的“不动之根基”，也成为日本所有微积分教材、专著的参考原点。本书从严密的实数理论出发，以初等函数理论为重点，用直观、易读的讲义式叙述方式，追溯了微分、积分概念的起源与数学分析理论发展的历史轨迹，将数学分析的发展脉络与整体结构清晰地呈现在读者眼前。日本岩波书店的“定本”版本，在第3版修订版的基础上，还收录了关于“Takagi函数”的解读文章。 本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理等领域的研究者的参考资料。

高木贞治 1875—1960，日本数学家，日本东京大学教授。 1897年毕业于日本东京大学，1898年留学德国，师从有名数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）。他解决了“克罗内克的青春之梦”问题中关于“高斯整数的虚数乘法”的问题。1920年，他通过对希尔伯特的绝对类域的一般化推广创建了类域论，构建了代数体的阿贝尔扩张理论，推动了现代数学的发展。另外，他也因对日本现代数学的奠基性贡献而被誉为“日本现代数学之父”。他于1925年当选帝国学士院会员，于1932年被选为国际数学家大会主席及第一届菲尔兹奖评委会成员，于1940年获得日本优选科学荣誉文化勋章。著有《数学小景》《数的概念》《代数整数论》《代数学讲义》《初等数论讲义》《近世数学史谈》《数学杂谈》等。

3 版修订版序言
2 版增订版序言
1 版前言
1 章 基本概念 1
§1 数的概念 1
§2 数的连续性 3
§3 数的集合·上确界·下确界 4
§4 数列的极限 5
§5 区间套法 10
§6 收敛条件与柯西判别法 12
§7 聚点 15
§8 函数 17
§9 关于连续变量的极限 21
§10 连续函数 25
§11 连续函数的性质 28
§12 区域 · 边界 31
习题 35
2 章 微分 37
§13 微分与导函数 37
§14 微分法则 40
§15 复合函数的微分 42
§16 反函数的微分法则 45
§17 指数函数和对数函数 48
§18 导函数的性质 51
§19 高阶微分法则 55
§20 凸函数 56
§21 偏微分 58
§22 可微性与全微分 60
§23 微分的顺序 62
§24 高阶全微分 65
§25 泰勒公式 67
§26 极大极小 74
§27 切线和曲率 81
习题 93
3 章 积分 96
§28 古代求积方法 96
§29 微分发明之后的求积方法 98
§30 定积分 101
§31 定积分的性质 108
§32 积分函数, 原函数 112
§33 积分定义扩展 (广义积分) 116
§34 积分变量的变换 125
§35 乘积的积分 (分部积分或分式积分) 128
§36 勒让德球函数 135
§37 不定积分计算 139
§38 定积分的近似计算 143
§39 有界变差函数 148
§40 曲线的长度 151
§41 线积分 156
习题 160
4 章 无穷级数与一致收敛 163
§42 无穷级数 163
§43 *对收敛和条件收敛 164
§44 *对收敛的判别法 168
§45 条件收敛的判别法 173
§46 一致收敛 176
§47 无穷级数的微分和积分 179
§48 关于连续变量的一致收敛, 积分符号下的微分和积分 184
§49 二重数列 195
§50 二重级数 197
§51 无穷积 204
§52 幂级数 208
§53 指数函数和三角函数 217
§54 指数函数和三角函数的关系, 对数函数和反三角函数 222
习题 229
5 章 解析函数及初等函数 232
§55 解析函数 232
§56 积分 236
§57 柯西积分定理 241
§58 柯西积分公式, 解析函数的泰勒展开 247
§59 解析函数的孤立奇点 251
§60 z = ∞ 处的解析函数 256
§61 整函数 257
§62 定积分计算 (实变量) 258
§63 解析延拓 264
§64 指数函数和三角函数 268
§65 对数 ln z 和一般幂 zα 277
§66 有理函数的积分理论 282
§67 二次平方根的不定积分 287
§68 Γ 函数 290
§69 斯特林公式 301
习题 307
6 章 傅里叶展开 314
§70 傅里叶级数 314
§71 正交函数系 315
§72 任意函数系的正交化 316
§73 正交函数列表示的傅里叶展开 318
§74 傅里叶级数累加平均求和法 (费耶定理) 322
§75 光滑周期函数的傅里叶展开 325
§76 非连续函数的情况 326
§77 傅里叶级数的例子 329
§78 魏尔斯特拉斯定理 333
§79 积分*二中值定理 336
§80 关于傅里叶级数的狄利克雷–若尔当条件 338
§81 傅里叶积分公式 341
习题 343
7 章 微分续篇 (隐函数) 345
§82 隐函数 345
§83 反函数 351
§84 映 354
§85 对解析函数的应用 359
§86 曲线方程 364
§87 曲面方程 369
§88 包络线 373
§89 隐函数的极值 375
习题 379
8 章 多变量积分 381
§90 二元以上的定积分 381
§91 面积的定义和体积的定义 382
§92 一般区域上的积分 387
§93 化简成一元积分 391
§94 积分意义的扩展 (广义积分) 398
§95 多变量定积分表示的函数 405
§96 变量变换 408
§97 曲面面积 421
§98 曲线坐标 (体积、曲面积和弧长等的变形) 429
§99 正交坐标 437
§100 面积分 441
§101 向量记号 443
§102 高斯定理 445
§103 斯托克斯定理 453
§104 全微分条件 457
习题 461
9 章 勒贝格积分 464
§105 集合运算 464
§106 加法集合类 (σ 系) 468
§107 M 函数 468
§108 集合的测度 473
§109 积分 475
§110 积分的性质 479
§111 可加集合函数 488
§112 *对连续性和奇异性 492
§113 欧式空间和区间的体积 495
§114 勒贝格测度 497
§115 零集合 503
§116 开集合和闭集合 505
§117 博雷尔集合 509
§118 积分表示的集合测度 510
§119 累次积分 516
§120 与黎曼积分的比较 517
§121 斯蒂尔切斯积分 519
§122 微分定义 521
§123 Vitali 覆盖定理 523
§124 可加集合函数的微分 526
§125 不定积分的微分 530
§126 有界变差和*对连续的点函数 532
附录 I 无理数论 535
§1 有理数分割 535
§2 实数的大小 536
§3 实数的连续性 537
§4 加法 538
§5 *对值 540
§6 极限 540 §7 乘法 542
§8 幂和幂根 543
§9 实数集合的一个性质 544
§10 复数 545
附录 II 若干特殊曲线 547
补遗 关于处处不可微的连续函数 551