全国大学生数学竞赛辅导(数学类)

面向数学专业学生的全国大学生数学竞赛辅导用书

本书是针对数学专业的全国大学生数学竞赛而编写的辅导用书，全书共安排四个部分。第一部分的内容是各届初赛试题及解答；第二、三部分为考点直击，结合考试大纲对数学分析和高等代数的要求，对每个专题进行考点直击，分章讲述，每章安排基本知识点和典型例题两节，第四部分是各届决赛试题及解答。在题目解答环节，为了拓展学生的思路，许多题目安排了多种解题方式。为便于读者及时地获取此竞赛的近期新试题及相关信息，书中还设置了许多二维码。

张天德,山东大学数学学院教授，山东省教学名师，泰山学堂很好教师。全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，国家精品在线开放课程、国家一流本科课程、山东省课程思政示范课程负责人。获重量教学成果二等奖、山东省教学成果一等奖、英才计划优秀指导教师、全国大学生数学竞赛“优秀指导教师”、山东省优秀科技创新导师、山东大学本科优秀教学奖、教育拓展“十五年贡献奖”、山东大学创新创业教育优秀指导教师。主编、参编新形态教材、十二五规划教材6部，《微积分（1）、（2）》2021年获全国首届优秀教材二等奖。

第一部分初赛试题及参考解答
第一届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2009年）
第二届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2010年）
第三届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2011年）
第四届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2012年）
第五届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2013年）
第六届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2014年）
第七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2015年）
第八届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2016年）
第九届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2017年）
第十届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2018年）
第十一届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2019年）
第十二届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2020年）
第十三届全国大学生数学竞赛初赛（数学类，2021年）
第二部分考点直击(数学分析)
第1章 极限与连续
1.1 基本知识点
一、 极限
二、 连续
1.2 典型例题
第2章 一元函数微分学
2.1 基本知识点
一、 导数与微分
二、 微分中值定理
三、 洛必达法则
2.2 典型例题
第3章 一元函数积分学
3.1 基本知识点
一、 不定积分
二、 定积分
三、 反常积分
3.2典型例题140第4章 无穷级数
4.1 基本知识点
一、 数项级数
二、 函数项级数
三、 幂级数
四、 傅里叶级数
4.2 典型例题
第5章 多元函数微分学
5.1 基本知识点
一、 常见的几种关系
二、 泰勒公式、隐函数定理
三、 二元函数的极值
5.2 典型例题
第6章 含参变量积分
6.1 基本知识点
一、 含参变量的定积分的性质
二、 含参变量的反常积分
6.2 典型例题
第7章 多元函数积分学
7.1 基本知识点
一、 重积分
二、 曲线积分
三、 曲面积分
7.2 典型例题
第三部分考点直击（高等代数）
第1章 多项式
1.1 基本知识点
1.2 典型例题
第2章 行列式
2.1 基本知识点
2.2 典型例题
第3章 线性方程组
3.1 基本知识点
3.2 典型例题
第4章 矩阵
4.1 基本知识点
4.2典型例题289第5章 二次型
5.1 基本知识点
5.2 典型例题
第6章 线性空间
6.1 基本知识点
6.2 典型例题
第7章 线性变换
7.1 基本知识点
7.2 典型例题
第8章 λ矩阵
8.1 基本知识点
8.2 典型例题
第9章 欧几里得空间
9.1 基本知识点
9.2 典型例题
第四部分决赛试题及参考解答
第一届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2010年）
第二届全国大学生数学竞赛决赛（数学类，2011年）
第三届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2012年）
第四届全国大学生数学竞赛决赛（数学类，2013年）
第五届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2014年）
第六届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2015年）
第七届全国大学生数学竞赛决赛（数学类，2016年）
第八届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2017年）
第九届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2018年）
第十届全国大学生数学竞赛决赛（数学类，2019年）
第十一届全国大学生数学竞赛决赛（数学类,2021年）
第十二届全国大学生数学竞赛决赛（数学类，2021年）

     第一届全国大学生数学竞赛初赛(数学类,2009年) 试 题 一(15分) 求经过三平行直线L1:x=y=z,L2:x-1=y=z+1,L3:x=y+1=z-1 的圆柱面的方程。 二(20分) 设Cn×n 是n×n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空 间, F= 0 0 … 0 -an 1 0 … 0 -an-1 0 1 … 0 -an-2 . . . . 0 0 … 1 -a1 . è ...... . . ÷÷÷÷÷÷ 。 (1)假设A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . an1 an2 … ann . è ..... . . ÷÷÷÷÷ ,若AF=FA,证明: A=an1Fn-1+an-1,1Fn-2+…+a21F+a11E; (2)求Cn×n 的子空间C(F)={X∈Cn×n|FX=XF}的维数。 三(15分) 假设V 是复数域C上的n 维线性空间(n>0),f,g 是V 上的线性变换,如 果fg-gf=f,证明:f 的特征值都是0,且f,g 有公共特征向量。 四(10分) 设{fn(x)}是定义在[a,b]上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛,并在 [a,b]上满足|f'n(x)|≤M 。 (1)证明{fn(x)}在[a,b]上一致收敛; (2)设f(x)=lim n→∞ fn(x),问f(x)是否一定在[a,b]上处处可导,为什么? 五(10分) 设an =∫π 2 0 t sinnt sint 3dt,证明Σ∞ n=1 1 an 发散。 六(15分) 设f(x,y)是{(x,y)|x2+y2≤1}上的二次连续可微函数,满足 .2f .x2+.2f .y2=x2y2, 计算积分I = . x2+y2≤1 x x2 +y2 .f .x + y x2 +y2 .f .y . è . . . ÷ dxdy。 七(15分) 假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A (0,f(0)),与 点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0