组合证明的艺术/(美)阿瑟T.本杰明

本书作者采取对话式的风格讲述了关于组合数学的有趣的内容，使读者能感受到阅读的愉悦。书中时不时会有一些惊喜，比如用图像化的处理方法以及用易于推广的证明方式，证明了许多组合数学中重要的恒等式。全书共有 ９ 章: 第 １ 章介绍了斐波那契数列的组合解释；第 ２ 章介绍了广义斐波那契数列和卢卡斯数列；第 ３ 章通过对平铺进行着色，引入了线性递推的组合解释；第 ４ 章介绍了连分式；第 ５ 章介绍了有关二项式系数的内容；第 ６ 章讨论了正负号交错的二项式恒等式；第 ７ 章探究了调和数与第一类斯特林数之间的关系；第 ８ 章介绍了连续整数和、 费马小定理、 威尔逊定理以及一部分拉格朗日定理的逆定理；第９ 章介绍了进阶斐波那契恒等式和其他一些恒等式。本书可作为组合数学课程的补充读物，读者无论是高中生还是数学方面的研究人员，均会不同程度地受益。

前 言第 １ 章 斐波那契恒等式 ……… １１？？ １ 斐波那契数的组合解释 ……………………… １１？？ ２ 恒等式 …………………… ２１？？ ３ 有趣的应用 ……………… １３１？？ ４ 注记 ……………………… １５１？？ ５ 练习 ……………………… １６第 ２ 章 广义斐波那契恒等式和卢卡斯恒等式 …… １９２？？ １ 卢卡斯数的组合解释 …… １９２？？ ２ 卢卡斯恒等式 …………… ２１２？？ ３ 广义斐波那契数 (Ｇｉｂｏｎａｃｃｉ数) 的组合解释 ………… ２６２？ ４ 广义斐波那契 (Ｇｉｂｏｎａｃｃｉ)恒等式 …………………… ２６２？？ ５ 注记 ……………………… ３６２？？ ６ 练习 ……………………… ３６第 ３ 章 线性递推 …………… ３８３？？ １ 线性递推的组合解释 …… ３８３？？ ２ 二阶递推恒等式 ………… ４１３？？ ３ 三阶递推恒等式 ………… ４３３？？ ４ ｋ 阶递推恒等式 ………… ４７３？？ ５ 来点实在的! 任意权重与初始条件 ……………………… ４８３？？ ６ 注记 ……………………… ５０３？？ ７ 练习 ……………………… ５０第 ４ 章 连分式………………… ５３４？？ １ 连分式的组合解释 ……… ５３４？？ ２ 恒等式 …………………… ５６４？？ ３ 非简单连分式 …………… ６２４？？ ４ 再来点实在的 …………… ６４４？？ ５ 注记 ……………………… ６４４？？ ６ 练习 ……………………… ６４第 ５ 章 二项式恒等式 ……… ６７５？？ １ 二项式系数的组合解释 ……………………… ６７５？？ ２ 基本恒等式 ……………… ６８５？？ ３ 更多二项式系数恒等式 ……………………… ７３５？？ ４ 可重复选择 ……………… ７６５？？ ５ 帕斯卡三角形中的奇数 ……………………… ８２５？？ ６ 注记 ……………………… ８６５？？ ７ 练习 ……………………… ８６Ⅷ第 ６ 章 正负号交错的二项式恒等式………………… ８９６？？ １ 奇偶性讨论与容斥原理 ……………………… ８９６？？ ２ 正负号交错的二项式系数恒等式 …………………… ９２６？？ ３ 注记 ……………………… ９９６？？ ４ 练习 ……………………… ９９第 ７ 章 调和数与斯特林数 … １０１７？？ １ 调和数与排列数………… １０１７？？ ２ 第一类斯特林数………… １０３７？？ ３ 调和数的组合解释……… １０８７？？ ４ 调和数恒等式的证明…… １１０７？？ ５ 第二类斯特林数………… １１５７？？ ６ 注记……………………… １１９７？？ ７ 练习……………………… １１９第 ８ 章 数论 ………………… １２２８？？ １ 算术恒等式……………… １２２８？？ ２ 代数与数论……………… １２８８？？ ３ 重提优选公因数………… １３２８？？ ４ 卢卡斯定理……………… １３４８？？ ５ 注记……………………… １３７８？？ ６ 练习……………………… １３８第 ９ 章 进阶斐波那契和卢卡斯恒等式 ……………… １４０９？？ １ 更多斐波那契和卢卡斯恒等式…………………… １４０９？？ ２ 着色恒等式……………… １４５９？？ ３ 一些 “随机” 恒等式与黄金分割………………… １５３９？？ ４ 斐波那契和卢卡斯多项式…………………… １５８９？？ ５ 负数……………………… １６０９？？ ６ 开放问题和瓦伊达(Ｖａｊｄａ) 数据…………… １６０章节练习中部分习题的提示与解法 …………………………… １６４参考文献 ………………………… １９０