普林斯顿概率论读本

“本书知识面广博，并且用清晰、轻松的语言来阐释高度形式化的问题，仿佛一位循循善诱的教授在耐心讲述。对于学习传统教材的学生而言，本书是非常好的补充。本书不仅值得在教育界推广，也适合统计学家用于探究他们死记硬背下来的基本定理。”——H. Van Dyke Parunak，Computing Reviews “正如英文版副书名所说的那样，本书清晰、直观地呈现了‘理解机会所需的全部工具’。对于已经很好地理解了微积分的学生而言，将对概率论的讨论与这些主题背后的微积分知识相结合大有裨益。”——MAA Reviews “我将本书推荐给所有研究统计学以及对统计学感兴趣的人。”——Singalakha Menziwa，Mathemafrica “这本书有趣、引人入胜且通俗易懂，价值非凡。它用对话的口吻邀请学生深入探索其中的材料和概念，好像米勒就站在学生面前讲授这些主题，帮助他们思考问题一样。”——John Imbrie，弗吉尼亚大学 对于学生来说，学习概率论及其众多应用、技术和方法似乎非常费力且令人生畏，而这正是本书的用武之地。这本通俗易懂的学习指南旨在用作概率论的独立教材或相关课程的补充材料，可帮助学生轻松地学习概率论知识并取得良好效果。 本书基于史蒂文·J. 米勒在布朗大学、曼荷莲学院和威廉姆斯学院教授的课程而作。米勒通过先修课程材料、各种难度的问题及证明对概率论这一数学领域进行了详细介绍。探索每个主题时，米勒首先引导学生运用直觉，然后才深入技术细节。本书涵盖的主题很广，并且对材料加以重复以强化知识。读完本书，学生不仅能掌握概率论，还能为将来学习其他课程打下基础。

本书讲解概率论的基础内容，包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等，内容丰富，通俗易懂，并配有丰富的例子和大量习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。

史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller） 美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erdos研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

第一部分一般性理论
第1章引言2
1.1生日问题3
1.1.1陈述问题3
1.1.2解决问题6
1.1.3对问题和答案的推广：效率11
1.1.4数值检验14
1.2从投篮到几何级数16
1.2.1问题和解答16
1.2.2相关问题22
1.2.3一般问题的解决技巧25
1.3赌博28
1.3.12008年超级碗赌注29
1.3.2预期收益29
1.3.3对冲的价值31
1.3.4结论32
1.4总结33
1.5习题35
第2章基本概率定律41
2.1悖论42
2.2集合论综述44
2.2.1编程漫谈48
2.2.2无穷大的大小和概率50
2.2.3开集和闭集52
2.3结果空间、事件和概率公理54
2.4概率公理59
2.5基本概率规则61
2.5.1全概率公式62
2.5.2并的概率63
2.5.3包含的概率66
2.6概率空间和σ代数67
2.7附录：实验性地找出规律72
2.7.1乘积求导法则73
2.7.2并的概率74
2.8总结75
2.9习题75
第3章计数I：纸牌80
3.1阶乘和二项式系数81
3.1.1阶乘函数81
3.1.2二项式系数85
3.1.3总结90
3.2扑克牌90
3.2.1规则91
3.2.2最小牌型93
3.2.3对子95
3.2.4两对98
3.2.5三条99
3.2.6顺子、同花和同花顺99
3.2.7葫芦和铁支100
3.2.8扑克牌型练习：I102
3.2.9扑克牌型练习：II103
3.3单人纸牌105
3.3.1克朗代克纸牌105
3.3.2AcesUp纸牌108
3.3.3《空当接龙》110
3.4桥牌112
3.4.1井字游戏113
3.4.2桥牌牌局的个数115
3.4.3将牌的分配121
3.5附录：计算概率的代码125
3.5.1将牌的分配和代码125
3.5.2扑克牌型的代码127
3.6总结130
3.7习题130
第4章条件概率、独立性和贝叶斯定理134
4.1条件概率135
4.1.1猜测条件概率公式137
4.1.2期望计数法138
4.1.3文氏图法140
4.1.4蒙提霍尔问题141
4.2一般乘法法则142
4.2.1陈述.142
4.2.2扑克牌的例子143
4.2.3帽子问题和纠错码144
4.2.4高等注解：条件概率的定义145
4.3独立性146
4.4贝叶斯定理148
4.5划分和全概率法则154
4.6回顾贝叶斯定理157
4.7总结158
4.8习题158
第5章计数II：容斥原理162
5.1阶乘和二项式问题163
5.1.1“有多少个”与“概率是什么”163
5.1.2选组165
5.1.3循环次序166
5.1.4选择套装168
5.2容斥方法170
5.2.1容斥原理的特例170
5.2.2容斥原理的陈述173
5.2.3容斥公式的证明175
5.2.4利用容斥原理：同花色牌型177
5.2.5从“至少”到“恰好”的方法180
5.3错排182
5.3.1错排的个数183
5.3.2错排数的概率184
5.3.3错排试验的代码185
5.3.4错排的应用187
5.4总结188
5.5习题190
第6章计数III：高等组合学193
6.1基本计数194
6.1.1枚举法I194
6.1.2枚举法II195
6.1.3有放回抽样和无放回抽样199
6.2单词排序207
6.2.1排序方法数208
6.2.2多项式系数210
6.3划分213
6.3.1饼干问题213
6.3.2彩票216
6.3.3其他划分220
6.4总结223
6.5习题223
第二部分介绍随机变量
第7章离散型随机变量228
7.1离散型随机变量：定义228
7.2离散型随机变量：概率密度函数230
7.3离散型随机变量：累积分布函数233
7.4总结241
7.5习题243
第8章连续型随机变量246
8.1微积分基本定理247
8.2概率密度函数和累积分布函数：定义259
8.3概率密度函数和累积分布函数：例子251
8.4单元素事件的概率256
8.5总结258
8.6习题259
第9章工具：期望262
9.1微积分预备知识263
9.2期望值和矩265
9.3均值和方差268
9.4联合分布273
9.5期望的线性性质277
9.6均值和方差的性质282
9.7偏斜度与峰度287
9.8协方差287
9.9总结288
9.10习题.289
第10章工具：卷积和变量替换292
10.1卷积：定义和性质293
10.2卷积：掷骰子的例子296
10.2.1理论计算296
10.2.2卷积码297
10.3多变量的卷积298
10.4变量替换公式：叙述301
10.5变量替换公式：证明305
10.6附录：随机变量的乘积与商309
10.6.1乘积的概率密度函数310
10.6.2商的概率密度函数311
10.6.3例子：指数分布的商311
10.7总结313
10.8习题313
第11章工具：微分恒等式317
11.1几何级数的例子318
11.2微分恒等式法321
11.3在二项分布随机变量上的应用322
11.4在正态分布随机变量上的应用326
11.5在指数分布随机变量上的应用328
11.6总结330
11.7习题331
第三部分特殊分布
第12章离散分布334
12.1伯努利分布334
12.2二项分布335
12.3多项分布339
12.4几何分布341
12.5负二项分布343
12.6泊松分布347
12.7离散均匀分布350
12.8习题353
第13章连续型随机变量：均匀分布与指数分布357
13.1均匀分布357
13.1.1均值和方差358
13.1.2服从均匀分布的随机变量之和359
13.1.3例子362
13.1.4均匀地生成随机数364
13.2指数分布365
13.2.1均值和方差366
13.2.2服从指数分布的随机变量之和369
13.2.3服从指数分布的随机变量的例子与应用372
13.2.4从指数分布中生成随机数373
13.3习题376
第14章连续型随机变量：正态分布379
14.1确定标准化常数380
14.2均值和方差383
14.3服从正态分布的随机变量之和386
14.3.1情形1：μX=μY=0且σX^2=σY^2=1388
14.3.2情形2：一般化的μX、μY和σX^2、σY^2390
14.3.3两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算393
14.4从正态分布中生成随机数394
14.5例子与中心极限定理400
14.6习题401
第15章伽马函数与相关分布405
15.1Γ(s)的存在性405
15.2Γ(s)的函数方程407
15.3阶乘函数与Γ(s)411
15.4Γ(s)的特殊值412
15.5贝塔函数与伽马函数414
15.5.1基本关系式的证明415
15.5.2基本关系式和Γ(1=2)417
15.6正态分布与伽马函数418
15.7随机变量族419
15.8附录：余割等式的证明421
15.8.1余割等式：第一种证明421
15.8.2余割等式：第二种证明425
15.8.3余割等式：s=1=2的特殊情形427
15.9柯西分布429
15.10习题431
第16章卡方分布433
16.1卡方分布的起源434
16.2X~x^2(1)的均值与方差436
16.3卡方分布与服从正态分布的随机变量之和437
16.3.1直接积分求平方和439
16.3.2利用变量替换定理求平方和440
16.3.3卷积法求平方和444
16.3.4服从卡方分布的随机变量之和446
16.4总结447
16.5习题449
第四部分极限定理
第17章不等式和大数定律452
17.1不等式452
17.2马尔可夫不等式454
17.3切比雪夫不等式456
17.3.1陈述456
17.3.2证明458
17.3.3正态分布与均匀分布的例子460
17.3.4指数分布的例子462
17.4布尔不等式与邦弗伦尼不等式462
17.5收敛类型464
17.5.1依分布收敛464
17.5.2依概率收敛466
17.5.3几乎必然收敛与必然收敛467
17.6弱大数定律与强大数定律467
17.7习题469
第18章斯特林公式472
18.1斯特林公式与概率474
18.2斯特林公式与级数的收敛性476
18.3从斯特林公式到中心极限定理477
18.4积分判别法与较弱的斯特林公式481
18.5得到斯特林公式的基本方法484
18.5.1二进分解484
18.5.2斯特林公式的下界：I486
18.5.3斯特林公式的下界：II488
18.5.4斯特林公式的下界：III490
18.6静态相位与斯特林公式491
18.7中心极限定理与斯特林公式492
18.8习题494
第19章生成函数与卷积496
19.1动机496
19.2定义498
19.3生成函数的唯一性和收敛性503
19.4卷积I：离散型随机变量504
19.5卷积II：连续型随机变量508
19.6矩母函数的定义与性质514
19.7矩母函数的应用521
19.8习题525
第20章中心极限定理的证明527
20.1证明的关键思路537
20.2中心极限定理的陈述529
20.3均值、方差与标准差531
20.4标准化532
20.5矩母函数的相关结果536
20.6特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和538
20.7利用MGF证明一般的CLT541
20.8使用中心极限定理543
20.9中心极限定理与蒙特卡罗积分544
20.10总结546
20.11习题547
第21章傅里叶分析与中心极限定理552
21.1积分变换553
21.2卷积与概率论557
21.3中心极限定理的证明560
21.4总结563
21.5习题564
第五部分其他主题
第22章假设检验568
22.1Z检验569
22.1.1原假设与备择假设569
22.1.2显著性水平570
22.1.3检验统计量572
22.1.4单侧检验与双侧检验575
22.2p值578
22.2.1非凡的主张与p值578
22.2.2大的p值579
22.2.3关于p值的误解579
22.3t检验581
22.3.1估算样本方差581
22.3.2从z检验到t检验582
22.4假设检验的问题585
22.4.1I型错误585
22.4.2II型错误585
22.4.3错误率与司法系统586
22.4.4功效587
22.4.5效应量588
22.5卡方分布、拟合优度588
22.5.1卡方分布与方差检验589
22.5.2卡方分布与t分布592
22.5.3列表数据的拟合优度593
22.6双样本检验595
22.6.1双样本z检验：方差已知595
22.6.2双样本t检验：方差未知但相等598
22.6.3方差未知且不相等599
22.7总结601
22.8习题602
第23章差分方程、马尔可夫过程和概率论604
23.1从斐波那契数到轮盘赌604
23.1.1翻倍加一策略604
23.1.2对斐波那契数的快速回顾606
23.1.3递推关系与概率608
23.1.4讨论与推广609
23.1.5轮盘赌问题的代码610
23.2递推关系的一般理论612
23.2.1表示法612
23.2.2特征方程612
23.2.3初始条件614
23.2.4关于不同根意味着可逆性的证明616
23.3马尔可夫过程617
23.3.1递推关系与种群动力学617
23.3.2一般的马尔可夫过程619
23.4总结620
23.5习题620
第24章最小二乘法622
24.1问题的描述622
24.2概率论与统计学回顾623
24.3最小二乘法625
24.4习题629
第25章两个著名问题与一些代码632
25.1婚姻/秘书问题632
25.1.1假设与策略632
25.1.2成功的概率633
25.1.3秘书问题的代码637
25.2蒙提霍尔问题639
25.2.1一个简单的解决方案639
25.2.2一种极端情形640
25.2.3蒙提霍尔问题的代码641
25.3两个随机程序642
25.3.1有放回取样与无放回取样642
25.3.2期望643
25.4习题644
附录A证明技巧（图灵社区下载）
附录B分析学结果（图灵社区下载）
附录C可数集与不可数集（图灵社区下载）
附录D复分析与中心极限定理（图灵社区下载）