矩阵计算六讲/现代数学基础

徐树方、钱江所著的《矩阵计算六讲》较系统地介绍了矩阵计算这门 学科近十年来发展起来的新方法和新理论。全书共分6讲，内容包括：标准 Schur分解、广义Schur分解和周期Schur分解的计算，特征值的排序问题， 多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问 题的Krylov子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。 《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点 放在了反映该学科的最新进展上;在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽 可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严 格而又简洁的数学证明;在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。 《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计 算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学 参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。

前言 第一讲 Schur分解的计算 1.1 标准Schur分解的计算 1.1.1 Householder变换和Givens变换 1.1.2 Schur分解定理 1.1.3 实Schur分解 1.1.4 QR方法 1.1.5 实Schur标准形之对角块的排序问题 1.2 广义Schur分解的计算 1.2.1 广义Schur分解定理 1.2.2 广义实Schur分解 1.2.3 QZ方法 1.2.4 广义实Schur标准形之对角块的排序问题 1.3 周期Schur分解的计算 1.3.1 周期Schur分解定理 1.3.2 周期实Schur分解 1.3.3 周期QZ方法 1.3.4 周期实Schur标准形之对角块的排序问题 习题 第二讲 多项式之根的快速求法 2.1 引言 2.1.1 基本问题 2.1.2 基本理论 2.2 Newton-Horner方法 2.2.1 Newton迭代法简介 2.2.2 Newton-Horner方法 2.3 快速QR方法 2.3.1 友矩阵 2.3.2 HN类矩阵和它的参数化 2.3.3 单步位移的快速QR迭代 2.3.4 双重步位移的隐式快速QR迭代 2.3.5 具体实现时的几个问题 习题 第三讲 奇异值分解的计算 3.1 基本概念和性质 3.2 Golub-Kahansvd算法 3.2.1 对称QR方法概要 3.2.2 Golub-Kahansvd算法 3.3 分而治之法 3.3.1 求解对称特征值问题的分而治之法 3.3.2 计算奇异值分解的分而治之法 3.4 Jacobi方法 3.4.1 求解对称特征值问题的Jacobi方法 3.4.2 计算奇异值分解的Jacobi方法 3.5 二分法 3.5.1 求解对称特征值问题的二分法 3.5.2 计算奇异值的二分法 习题 第四讲 Krylov子空间方法i 4.1 引言 4.2 Krylov子空间 4.2.1 Krylov子空间及其性质 4.2.2 Arnoldi分解 4.2.3 Lanczos分解 4.3 Rayleigh-Ritz方法 4.3.1 Rayleigh-Ritz投影方法 4.3.2 Rayleigh商的最佳逼近性 4.4 Arnoldi方法 4.4.1 经典Arnoldi算法 4.4.2 隐式重启Arnoldi算法 4.4.3 位移求逆技术 4.5 Lanczos方法 4.5.1 经典Lanczos算法 4.5.2 收敛性理论 4.5.3 重启Lanczos算法 习题 第五讲 Krylov子空间方法II 5.1 引言 5.2 共轭梯度法 5.2.1 基本迭代格式 5.2.2 收敛性分析 5.3 极小剩余法 5.3.1 Minres算法 5.3.2 收敛性分析 5.4 广义极小剩余法 5.4.1 GMRES算法 5.4.2 收敛性分析 5.5 拟极小剩余法 5.5.1 非对称Lanczos方法 5.5.2 QMR算法 5.6 投影类方法 5.6.1 BCG方法 5.6.2 CGS方法 5.6.3 BICGSTAB方法 习题 第六讲 共轭梯度法 6.1 引言 6.2 最优步长的计算 6.3 最速下降法 6.3.1 经典最速下降法 6.3.2 收缩最速下降法 6.3.3 梯度型同时迭代法 6.3.4 预优最速下降法 6.4 共轭梯度法 6.4.1 共轭梯度法 6.4.2 收缩共轭梯度法 6.4.3 共轭梯度型同时迭代法 6.4.4 预优共轭梯度法 6.5 预优梯度型子空间迭代法 6.5.1 PGS迭代法 6.5.2 收敛性分析 习题 符号和定义 参考文献