拓扑空间与线性拓扑空间中的反例/现代数学基础

第一章 拓扑空间 引言 1.存在某个非离散的拓扑空间，其中每个开集都是闭集，而每个闭集也都是开集 2.存在某个集X上的两个拓扑，其并不是X上的拓扑 3.存在某个Hausdorfr空间中的基本有界集，它不是紧有界的 4.存在某个积空间X×Y中的不开的子集A，使A[x]={y丨（x，y）∈A}与A[yx]={x（x，y）∈A}分别是Y与X的开集 5.存在某个集X上的两个拓扑T1与T2，使T1 T2，但（X，T1）中的半开集未必是（X，T2）中的半开集 6.存在某个集X上的两个不同的拓扑T1与T2，使A是（X，T1）中的半开集当且仅当A是（X，T2）中的半开集 7.存在某个S闭空间，它的一个子空间不是S闭的 8.存在某个S闭空间的连续像，它不是S闭的 9.存在某个集上的一族Urysohn拓扑，其中不存在最弱的拓扑 10.存在某个由拓扑空间X到Y上的半同胚映射f，它在X的某个子集A上的限制f丨A不是A到f（A）上的半同胚映射 11.存在某个拓扑空问的紧子集，它不是S紧的 12.存在两个正则开集，其并不是正则开集 13.存在两个正则闭集，其交不是正则闭集 14.存在某个拓扑空间X，其中每个非空子集在X中都是稠密的 15.存在某个有限集，其导集非空 16.存在某个集的导集，它不是闭集 17.存在某个正空间中的紧集，它不是闭的 18.存在某个拓扑空间，其中每个非空闭集都不是紧的 19.存在某个非Hausdorfr空间，其中每个紧集都是闭的，而每个闭集也都是紧的 20.存在某个紧集，其闭包不是紧集 21.存在某个拓扑空间，它的每个紧集都不包含非空开集 22.存在某个无限拓扑空间，其中每个子集都是紧的 23.存在实数集上的一个Hausdorff拓扑，它的任何有理数子集的导集都是空集 24.存在某个无限拓扑空间，其中不含有无限孤立点集 25.存在某个非离散的拓扑空间，其中每个紧集都是有限集 26.存在集X上两个不可比较的拓扑Τ1与Τ2，使（X，Τ1）与（X，Τ2）同胚 27.存在两个拓扑空间X与Y，使X同胚于Y的一个子空间，而y同胚于X的一个子空间，但X与Y并不同胚 28.存在一维欧氏空间R的两个同胚的子空间A与B，而不存在R到R上的同胚映射F，使F（A）=B 29.存在某个非紧的度量空间X，使X上的每个实值连续函数都是一致连续的 30.R2中存在不同胚的子集 31.存在两个同胚的度量空间X与Y，其中X中的有界集都是全有界的，而Y中的有界集并不都是全有界的 32.存在两个度量空间X与Y，使X2与Y2等距而X与Y并不等距 33.存在某个非紧的度量空间，它不能与其真子集等距 34.存在某个拓扑空间X，X的点都是函数，其拓扑相当于逐点收敛，而X不是可度量化的空间 35.存在某个函数序列{fn}，其图像序列{G（fn）}收敛，但{fn}并不一致收敛 第二章 映射与极限 第三章 可分性与可数性 第四章 分离性 第五章 连通性 第六章 紧性 第七章 线性拓扑空间 第八章 局部凸空间 第九章 桶空间、囿空间和Baire空间 第十章 线性拓扑空间中的基 参考文献 名词索引