初等数论（第四版）

本书自1992年9月出版以来，深受教师和学生的欢迎.在第二、三版中，作者根据读者提出的宝贵意见，以及在教学实践中的体会，对本书内容做了进一步修改与完善.本版是第四版，其修订的指导思想是： 在本书原有的框架和内容做尽可能少的改动下，让教初等数论的老师觉得更好用，学初等数论的读者觉得更易学，特别是自学.在本版中，除了附录四之外，内容整体上没有增加或减少.本次修订主要做了以下几点修改： 将习题中一些较难的或需要用到大学数学知识的非基本题加上了星号“*”，以便读者区分；在附录四中增加了从2013年至2023年与初等数论有关的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)试题；对书中部分内容的叙述做了少量必要的修改，以便读者更好地理解和掌握；改正了书中一些印刷错误及误漏.这些修改，对教与学都应该是有帮助的.本书是大学“初等数论”课程的教材，全书共分九章，主要内容包括： 整除理论、不定方程(Ⅰ)、同余的基本知识、同余方程、指数与原根、不定方程(Ⅱ)、连分数、素数分布的初等结果、数论函数.书中配有较多的习题，书末附有部分习题的提示与解答.本书是作者按少而精的原则精心选材编写而成的，它积累了作者数十年教学与科研的经验.为了便于学生理解，对重点内容多侧面分析，从不同角度进行阐述.本书概念叙述清楚，推理严谨，层次分明，重点突出，例题丰富，具有选择面宽、适用范围广、适宜自学等特点.本书可作为高等学校理工类各专业“初等数论”课程的教材，也可供数学工作者、中学数学教师和中学生阅读.

潘承洞【著】【中国】【现当代】————————————————————潘承洞：我国著名数学家，曾任山东大学校长。1984年，被评为中国首批有突出贡献的中青年专家； 1991年当选为中国科学院院士；1995年荣获香港何梁何利基金会科学与技术进步奖。 潘承彪【著】【中国】【现当代】————————————————————潘承彪，数学界著名专家，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。现任《数学学报》编委，《数学进展》常务编委。曾获国家教委科技进步二等奖；1986年被评为国家级有突出贡献的中青年专家；1991年获政府特殊津贴。

符号说明（i）第一章整除理论 §1自然数与整数 1.1基本性质 1.2最小自然数原理与数学归纳原理 习题一 §2整除的基本知识 2.1整除的定义与基本性质 2.2素数与合数 2.3最大公约数与最小公倍数 习题二 §3带余数除法 3.1带余数除法及其基本应用 3.2辗转相除法 习题三 §4最大公约数理论 4.1证明的第一种途径 4.2证明的第二种途径 4.3证明的第三种途径 习题四 §5算术基本定理 5.1证明的第一种途径 5.2证明的第二种途径 习题五 §6整除理论小结 习题六 §7n!的素因数分解式 7.1符号［x］ 7.2n!的素因数分解式 习题七第二章不定方程(Ⅰ) §1一次不定方程 1.1一次不定方程的求解 1.2二元一次不定方程的非负解和正解 习题一 §2x2+y2=z2及其应用 2.1x2+y2=z2的求解 2.2应用 习题二第三章同余的基本知识 §1同余的定义及基本性质 习题一 §2同余类与剩余系 2.1同余类与剩余系的基本性质 2.2剩余系的整体性质及其结构 习题二 §3Euler函数φ (m) 3.1φ（m）的性质 3.2公开密钥密码系统 习题三 §4Wilson定理 习题四第四章同余方程 §1同余方程的基本概念 习题一 §2一元一次同余方程 习题二 §3一元一次同余方程组——孙子定理 3.1孙子定理 3.2孙子定理与同余类和剩余系的关系 习题三 §4一元同余方程的一般解法 习题四 §5模为素数的二次剩余 习题五 §6Gauss二次互反律 6.1Legendre符号 6.2Gauss引理 6.3Gauss二次互反律 习题六 §7Jacobi符号 习题七 §8模为素数的一元高次同余方程 8.1基本知识 8.2模为素数的二项同余方程 习题八 §9多元同余方程简介，Chevalley定理 习题九第五章指数与原根 §1指数 习题一 §2原根 习题二 §3指标、指标组与既约剩余系的构造 习题三 §4二项同余方程 习题四第六章不定方程(Ⅱ) §1x21+x22+x23+x24=n 习题一 §2x2+y2=n 2.1有解的充要条件 2.2解数公式 习题二 §3ax2+by2+cz2=0 习题三 §4x3+y3=z3第七章连分数 §1什么是连分数 习题一 §2有限简单连分数 习题二 §3无限简单连分数 习题三 §4无理数的最佳有理逼近 习题四 §5二次无理数与循环连分数 习题五 §6x2-dy2=±1 习题六第八章素数分布的初等结果 §1Eratosthenes筛法与π（N） 1.1Eratosthenes筛法的定量分析与π(N)的算法 1.2Mbius函数 1.3素数的个数与大小的简单估计 1.4容斥原理 习题一 §2π（x）的上、下界估计 2.1Чебышев不等式 2.2Betrand假设 2.3Чебышев函数θ（x）与ψ（x） 习题二 §3Euler恒等式 习题三第九章数论函数 §1积性函数 习题一 §2Mbius变换及其反转公式 习题二 §3数论函数的均值 3.1Dirichlet除数问题 3.2Gauss圆问题 3.3Euler函数φ（n）的均值 3.4Mertens定理 习题三 §4Dirichlet特征 4.1定义、构造与基本性质 4.2几个应用 习题四附录一自然数 §1Peano公理 §2加法与乘法 §3顺序(大小)关系 习题附录二Z［-5］——算术基本定理不成立的例子 习题附录三初等数论的几个应用 §1循环赛的程序表 §2如何计算星期几 §3电话电缆的铺设 §4筹码游戏 习题附录四与初等数论有关的IMO试题 §1第1～64届IMO中与初等数论有关的试题（共138道试题） §2典型试题的解法举例部分习题的提示与解答 附表1素数与最小正原根表(5000以内) 附表2d 的连分数与Pell方程的最小正解表 名词外文对照表 参考文献