科学计算与数学建模

本书基于研究型教学与 探索型学习相结合的教学 模式，以问题驱动，主要 介绍数学建模思想、数学 建模方法和科学计算方法 。在内容组织上，以实际 问题的建模和求解导入章 节内容，采用教学案例方 式，渗透数学建模思想， 介绍数学建模的步骤和方 法，建立描述实际问题的 数学模型，再通过模型的 求解引入科学计算的基本 知识和一般方法。 本书主要内容包括：数 学建模与科学计算方法的 基本概念、误差及其传播 分析、函数插值与拟合方 法、数值积分方法、非线 性方程的迭代解法、线性 方程组的直接解法与数值 解法、数值求解常微分方 程的基本方法、决策评价 方法、统计预测方法等。 读者只需具备大学数学 的基本知识，就可以使用 本书。本书可以作为高等 学校理工科专业本科生、 研究生相关课程的教材或 教学参考书，也可作为大 学生数学建模竞赛培训教 材，以及相关科技工作者 和工程技术人员的参考书 。

第1章 绪论——数学建模与误差分析 1.1 数学模型求解与科学计算 1.2 数学建模及其重要意义 1.2.1 数学建模的过程 1.2.2 数学建模的一般步骤 1.2.3 数学建模的重要意义 1.3 数值方法与算法评价 1.4 误差的种类及其来源 1.4.1 模型误差 1.4.2 观测误差 1.4.3 截断误差 1.4.4 舍入误差 1.5 绝对误差和相对误差 1.5.1 绝对误差和绝对误差限 1.5.2 相对误差和相对误差限 1.6 误差传播与算法稳定性分析 1.6.1 误差传播估计的一般公式 1.6.2 误差在算术运算中的传播 1.6.3 算法稳定性的实例分析 习题1 第2章 铁轨既有线路恢复问题——插值与拟合算法 2.1 铁轨既有线路恢复问题 2.2 求未知函数近似表达式的插值法 2.2.1 求函数近似表达式的必要性及插值函数的定义 2.2.2 插值多项式的存在唯一性 2.3 Lagrange插值法 2.3.1 Lagrange 插值基函数 2.3.2 Lagrange插值多项式 2.3.3 插值余项 2.3.4 插值误差的事后估计法 2.4 Newton 插值法 2.4.1 向前差分与Newton 向前插值公式 2.4.2 向后差分与Newton向后插值公式 2.4.3 差商与Newton 基本插值多项式 2.5 求插值多项式的改进算法 2.5.1 分段低次插值 2.5.2 三次样条插值 2.6 求函数近似表达式的拟合法 2.6.1 曲线拟合的最小二乘法 2.6.2 加权最小二乘法 2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合 2.7 铁轨既有线路恢复的简单方法 2.7.1 铁轨既有线路恢复的光滑连接问题与数值微分 2.7.2 利用插值多项式求未知函数的导数近似值 2.7.3 用插值方法恢复铁轨的既有线路 2.7.4 用分段线元拟合方法恢复铁轨的既有线路 2.7.5 缓和曲线介绍 习题2 第3章 湘江水流量估计模型——数值积分法 3.1 湘江水流量估计