数学分析讲义(第1册北京高等教育精品教材)

陈天权编著的《数学分析讲义(第1册北京高等教 育精品教材)》是作者在清华大学数学科学系(1987— 2003)及北京大学数学科学学院(2003—2009)给本科 生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面， 作者力求以近代数学(集合论，拓扑，测度论，微分 流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识 ，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式。另 一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学 分析与其他学科(特别是物理学)的联系，以使同学理 解自然现象一直是数学发展的重要源泉。全书分为三 册。第一册包括：集合与映射，实数与复数，极限， 连续函数类，一元微分学和一元函数的Riemann积分 ；第二册包括：点集拓扑初步，多元微分学，测度和 积分；第三册包括：调和分析初步和相关课题，复分 析初步，微分流形，重线性代数，微分形式和欧氏空 间中的流形上的积分。每章都配有丰富的习题，它除 了提供同学训练和熟悉正文中的内容外，也介绍了许 多补充知识。 本书可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学 、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考 书，也可作为需要把数学当做重要工具的同学(例如 攻读物理的同学)的教学参考书。 本书在2012年第2次重印时，对书中的练习题按 小节进行了调整，并在书末增加了习题的提示，以减 轻读者在做题时的难度。如果读者在阅读本书时遇到 困难，可与作者联系。电子邮件： tchen@math.tsinghua.edu.cn

陈天权，1959年毕业于北京大学数学力学系。曾讲授过数学分析，高等代数，实变函数，复变函数，概率论，泛函分析等课程。主要的研究方向是非平衡态统计力学。

第1章 集合与映射 §1.1 集合 练习 §1.2 集合运算及几个逻辑符号 练习 §1.3 映射 练习 §1.4 映射的乘积(或复合) 练习 §1.5 可数集 练习 §1.6 附加习题 §1.7 补充教材一：关于自然数集合N 练习 §1.8 补充教材二：基数的比较 练习 进一步阅读的参考文献 第2章 实数与复数 §2.1 实数的四则运算 练习 §2.2 实数的大小顺序 练习 §2.3 实数域的完备性 练习 §2.4 复数 练习 §2.5 附加习题 §2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑 §2.7 补充教材二：实数域的构筑 进一步阅读的参考文献 第3章 极限 §3.1 序列的极限 练习 §3.2 序列极限的存在条件 练习 §3.3 级数 练习 §3.4 正项级数收敛性的判别法 练习 §3.5 幂级数 练习 §3.6 函数的极限 练习 §3.7 附加习题 进一步阅读的参考文献 第4章 连续函数类和其他函数类 §4.1 连续函数的定义及其局部性质 练习 §4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质 练习 §4.3 单调连续函数及其反函数 练习 §4.4 函数列的一致收敛性 练习 §4.5 附加习题 §4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数 练习 进一步阅读的参考文献 第5章 一元微分学 §5.1 导数和微分 练习 §5.2 导数与微分的运算规则 练习 §5.3 可微函数的整体性质及其应用 练习 §5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式 练习 §5.5 Taylor级数 练习 §5.6 凸函数 练习 §5.7 几个常用的不等式 练习 §5.8 附加习题 §5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质 §5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述 5.10.1 谐振子 5.10.2 阻尼振动 5.10.3 强迫振动 进一步阅读的参考文献 第6章 一元函数的Riemann积分 §6.1 Riemann积分的定义 练习 §6.2 Riemann积分的简单性质 练习 §6.3 微积分学基本定理 练习 §6.4 积分的计算 练习 §6.5 有理函数的积分 练习 §6.6 可以化为有理函数积分的积分 6.6.1，R(X,■)的积分 6.6.2 R(X，■)的积分 6.6.3 R(sinx，cosx)的积分 练习 §6.7 反常积分 练习 §6.8 积分学在几何学、力学与物理学中的应用 6.8.1 定向区间的可加函数. 6.8.2 曲线的弧长 6.8.3 功 练习 §6.9 附加习题 §6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件 §6.1l 补充教材二：Stieltjes积分 §6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数 6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动 6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数 §6.13 补充教材四：上、下积分的定义 进一步阅读的参考文献 附录 部分练习及附加习题的提示 参考文献 名词索引