讲义与问题：给青年数学家的礼物(影印版)

VladimirI。Arnold（1937—2010）是20世纪 末最伟大的数学家之一。他在许多领域做了大量杰 出工作；在另一个层面上，他保持了俄罗斯数学的 强大传统，即为对数学感兴趣的年轻学生写作并直 接教导他们。本书包含了Arnold在这方面所做的贡 献。 全书共分四个部分：“连分数”部分将高中数 学常见的一个拓展主题引向只有数学大师才能想象 的方向。“Euler群”部分也是一个类似的拓展主 题，Arnold将其置于数学背景之下，并运用大量的 数学工具，将其推广至远超出常规的范畴。“复数 ”部分的背景是物理学，但Arnold巧妙提取了讨论 的数学方面，让学生能够在还未掌握量子力学领域 的知识前就能够理解它。“给5至15岁儿童的问题 ”部分是作者最喜欢的智力问题的集合。尽管许多 问题不是原创的，但它们都值得思考，都需要解题 者跳出自己的思维定势。Arnold的长期朋友和合作 者DmitryFuchs为其中的一些问题提供了解答。 在阅读本书时，人们会有一种走在通往山顶的 道路上的感觉，然后眼前呈现出一幅在地面上无法 想象的美景。然而，Arnold的阐述风格是毫不留情 的。即使是专业数学家，在阅读中也会发现，往往 需要几个小时的思考才能理解某些段落，读者必须 耐心面对思维省略和推理跳跃，这些都是Arnold的 意图所在。 本书可供数学专业的学生、教师、专业研究人 员以及所有喜爱数学的读者阅读参考。

Preface to the English Edition Part 1. Continued Fractions Continued Fractions What is a Continued Fraction？ The Geometric Theory of Continued Fractions Kuzmin's Theorem Multidimensional Continued Fractions A Generalization of Lagrange's Theorem Editors' Comments Part 2. Geometry of Complex Numbers, Quaternions, and Spins Geometry of Complex Numbers, Quaternions, and Spins Complex Numbers Motions of the Plane A Digression Concerning Orientations The Generalization of Complex Numbers to the Concept of Quaternions Some Examples Newton's Differential Equation From the Pythagorean Theorem to Riemann Surfaces Mathematical Trinities Spins and Braids Appendix Editors' Comments Part 3. Euler Groups and Arithmetic of Geometric Progressions Euler Groups and Arithmetic of Geometric Progressions 1. Basic Definitions 2. A Digression on the Euler Function 3. Tables for Euler Groups 4. Euler Groups of Products 5. The Homomorphism Given by Reduction Modulo a, F(ab) --+ F(a) 6. Proofs of the Theorems on Euler Groups 7. Fermat-Euler Dynamical Systems 8. Statistics of Geometric Progressions 9. Measurement of the Degree of Randomness of a Subset 10. The Average Value of the Parameter of Randomness 11. Additional Remarks about Fermat-Euler Dynamics 12. Primitive Roots of a Prime Modulus 13. Patterns in Coordinates of Quadratic Residues 14. Applications to Quadratic Congruences Part 4. Problems for Children 5 to 15 Years Old Problems Solutions to Selected Problems Bibliography