金融中的自由边界问题

数学中的自由边界问题 是一类未知函数和边界需要 一起决定的偏微分方程问题 ，它和最优控制有关，是非 线性问题。金融中有大量的 衍生品定价问题、最优投资 消费问题和风险评估问题可 以转化为自由边界的求解问 题。本书收集了这类问题， 从问题本身出发，用随机分 析的工具，通过数学建模， 将问题转化为自由边界问题 ，然后应用数学中经典的解 决自由边界问题的技巧并克 服问题各自的特殊困难，进 行求解、实施数值计算并讨 论解和自由边界的各种性质 。 本书的前两章是相关基 础知识介绍，接下来几章分 别讨论了从美式和选择类的 期权定价、优化投资和信用 等级评估等方面提出的各种 自由边界问题及其解决方案 。 本书的读者可以是从事 金融数学或偏微分方程研究 的研究者和研究生，甚至是 高年级本科生，还可以是金 融业界遇到相关问题的从业 者。它既可以作为研究生教 材，又可以作为相关领域工 作者的扩展读物。阅读本书 的读者需要具备基础金融知 识、简单的随机分析以及偏 微分方程方面的知识。

第1章 预备知识 1.1 随机过程基本知识 1.1.1 几个常用的随机过程 1.1.2 Ito公式 1.1.3 Feynman-Kac公式 1.1.4 动态规划原理 1.2 偏微分方程的基本知识 1.2.1 函数空间 1.2.2 二阶线性抛物型方程的先验估计和存在定理 1.2.3 二阶退化偏微分方程与边界条件（Fichera定理） 1.2.4 Black-Scholes方程和公式 1.3 一些有用的定理 1.3.1 不动点定理 1.3.2 几个收敛定理 1.3.3 Hopf原理 参考文献 第2章 经典的自由边界问题 2.1 障碍问题 2.1.1 椭圆障碍问题 2.1.2 抛物障碍问题 2.1.3 变分不等式 2.2 Stefan问题（冰水问题） 2.2.1 模型 2.2.2 一维问题 2.2.3 一相Stefan问题解的存在性 2.2.4 一相Stefan问题自由边界x=s（t）的性质 2.2.5 守恒形式——Stefan问题的弱形式 2.3 障碍问题与一相Stefan问题的互相转换 参考文献 第3章 美式期权 3.1 美式期权 3.1.1 经典的美式期权 3.1.2 带跳的美式期权 3.2 具有有限到期日的美式期权 3.2.1 模型推导 3.2.2 变分不等式问题的解 3.2.3 自由边界的性质 3.2.4 证实定理 3.2.5 美式期权的数值计算和实施边界的收敛速率 3.2.6 文献综述 3.3 美式回望期权 3.3.1 模型推导 3.3.2 问题（3.3.14）的解的存在性 3.3.3 自由边界的性质 3.3.4 文献综述 3.4 美式利率期权 3.4.1 模型推导 3.4.2 问题（3.4.7）的解的存在性 3.4.3 自由边界的性质 3.4.4 文献综述