一元微积分新讲

全书共六章。第一章 介绍微积分的基本概念， 从函数差商估值问题出发 ，直接引入导数和函数的 一致连续性，并阐述导数 作为切线的几何意义；通 过差商上、下界的估计引 入导数的又一个等价定义 ，推出“导数正则函数增” 等导数基本性质；利用面 积的基本性质引入定积分 ，证明微积分基本定理， 且用于引入自然对数和指 数函数并导出其基本性质 。第二章为微积分的基本 计算方法，并且应用微积 分基本定理简洁地导出泰 勒公式。第三章讲述微积 分的初步应用。第四章建 立实数理论并深入探讨函 数的连续性。第五章引入 极限概念，并用于建立无 穷级数和无穷积分的理论 与计算方法。第六章是常 微分方程的入门知识。 本书从函数的宏观性 质切入，直观简明，达到 微观上的表述与传统体系 逻辑等价，为顺利进入多 元微积分打下坚实的基础 ，以期为突破微积分入门 教学中长期存在的若干难 点提供新的有效方案。 本书可作为理工科专 业大学生的读本，也可供 对微积分教学与研究有兴 趣的教师或专家参考。

张景中，数学家，中国科学院院士。 多年从事几何算法和定理机器证明研究，其成果曾获国家发明二等奖，中国科学院自然科学一等奖，国家自然科学二等奖。 热心数学教育，提出教育数学的思想，并从事中学教学改革和微积分教学改革的研究。 热爱科普事业，其所著《教育数学丛书》曾获中国图书奖，《数学家的眼光》等科普作品曾获国家科学技术进步二等奖、第六届国家图书奖、“五个一”工程奖、全国科普创作一等奖。所主编的《好玩的数学》丛书获国家科学技术进步二等奖。

第一章 基本概念和基本定理 1.0 回顾：从数到函数 1.1 函数的差商和导数 1.1.1 差商——函数在区间上的平均变化率 1.1.2 函数在区间上的一致导数 1.1.3 导数的几何意义——切线的斜率 1.2 中值不等式及其初步应用 1.2.1 差商估值的另一个视角 1.2.2 中值不等式的初步应用 1.3 定积分与微积分基本定理 1.3.1 面积计算与定积分 1.3.2 微积分基本定理 1.3.3 用定积分引入自然对数 1.3.4 用对数的反函数引入指数函数 第二章 微积分的基本计算方法 2.1 求导数的公式 2.1.1 基本求导法则 2.1.2 初等函数求导公式 2.1.3 隐函数和参数方程表示的函数求导 2.2 求积分的方法 2.2.1 不定积分的计算 2.2.2 定积分的计算 2.2.3 定积分的近似计算 2.3 泰勒公式 2.3.1 微积分基本定理导出泰勒公式 2.3.2 泰勒公式的应用 第三章 微积分的初步应用 3.1 有关曲线的整体度量 3.1.1 平面区域的面积 3.1.2 简单的体积和表面积计算 3.11 3平面曲线的弧长 3.2 曲线的局部性状 3.2.1 凸凹性 3.2.2 极值 3.2.3 曲率 3.3 物理应用举例 3.3.1 瞬时速度 3.3.2 变力所做的功 第四章 实数公理及函数连续性 4.1 实数系的基本性质 4.1.1 戴德金公理 4.1.2 上确界和下确界 4.2 连续函数的性质 4.2.1 连续函数的介值定理 4.2.2 反函数存在性问题 4.2.3 连续函数的最值定理 4.2.4 函数在一点的连续性和导数 4.2.5 闭区间上点点连续函数的一致连续性 4.2.6 回顾：从差商有界到连续 第五章 极限