高等数学

本教材是根据多年的教学实践经验和研究成果，结合教育部颁布的经济管理类本科专业高等数学课程的教学基本要求及近年《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》有关高等数学部分的规定编写而成的。主要内容包括函数、 极限与连续 、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、 定积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数、微分方程初步和差分方程初步. 适用专业为理工类，适用学时范围为144学时。

周其龙 ---------------------------- 数学与应用数学硕士研究生，讲师，数学教研室主任，河南省数学会理事，中国系统工程学会-农业系统工程专业委员会理事，河南省运筹学会理事，研究方向为应用数学与智能算法。 窦丽霞 ---------------------------- 硕士研究生。中原科技学院讲师。主要研究方向：微分方程理论与应用，主要讲授校系公共课——高等数学等课程。

第一章 函数、极限与连续1 第一节函数2 一、集合（2）二、区间（3）三、邻域（3）四、函数的定义（4）五、函数关系的建立（4）六、函数的几种特性（5）七、初等函数（7）思考题1-1（）习题1-1（11） 第二节 极限12 一、数列的极限（12）二、函数的极限（14）三、无穷小与无穷大（17）思考题1-2（19）习题1-2（19） 第三节 极限的运算20 一、极限的运算法则（20）二、两个重要极限（23）三、无穷小的比较（25）思考题1-3（27）习题1-3（27） 第四节 函数的连续性和间断点27 一、函数的连续性（27）二、函数的间断点（30）三、闭区间上连续函数的性质（32）思考题1-4（33）习题1-4（33） 本章小结34 自测题一36 第二章 导数与微分38 第一节 导数的概念39 一、两个实例（39）二、导数的定义（40）三、求导数举例（41）四、导数的几何意义（43）五、可导与连续的关系（44）思考题2-1（45）习题2-1（45） 第二节 求导法则46 一、函数的四则运算的求导法则（46）二、反函数的求导法则（48）三、复合函数的求导法则（50）四、初等函数的导数（53）思考题2-2（55）习题2-2（55） 第三节 高阶导数56 思考题2-3（58）习题2-3（59） 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数59 一、隐函数的导数（59）二、由参数方程所确定的函数的导数（60）思考题2-4（62）习题2-4（62） 第五节 微分及其在近似计算中的应用63 一、微分的概念（63）二、微分的运算法则（65）三、微分在近似计算中的应用（67）思考题2-5（68）习题2-5（68） 本章小结69 自测题二70 第三章 微分中值定理与导数的应用72 第一节 微分中值定理73 一、罗尔中值定理（73）二、拉格朗日中值定理（73）三、柯西中值定理（76）思考题3-1（76）习题3-1（76） 第二节 洛必达法则76 一、00型及∞∞型未定式的极限（77）二、其他未定式的极限（80）思考题3-2（81）习题3-2（81） 第三节 函数的单调性与极值81 一、函数单调性的判别法（82）二、函数的极值（84）三、函数的最大值和最小值（87）思考题3-3（88）习题3-3（88） 第四节 曲线的凹凸性及函数图形的描绘89 一、曲线的凹凸性及拐点（89）二、垂直渐近线和水平渐近线（92）三、函数图形的描绘（92）思考题3-4（94）习题3-4（94） 第五节 曲率94 一、曲率（95）二、曲率的计算公式（96）三、曲率半径与曲率圆（97）习题3-5（98） 本章小结98 自测题三100 第四章 不定积分102 第一节 不定积分的概念与性质103 一、原函数与不定积分的概念（103）二、不定积分的性质（104）三、基本积分公式（105）思考题4-1（107）习题4-1（107） 第二节换元积分法108 一、第一类换元积分法（108）二、第二类换元积分法（113）思考题4-2（117）习题4-2（117）第三节 分部积分法118 思考题4-3（121）习题4-3（121） 第四节 有理函数与三角函数有理式的不定积分122 一、有理函数的不定积分（122）二、三角函数有理式的不定积分（125）思考题4-4（127）习题4-4（127） 本章小结127 自测题四128 第五章 定积分130 第一节 定积分的概念与性质131 一、定积分问题的两个实际引例（131）二、定积分的定义（132）三、定积分的性质（134）思考题5-1（135）习题5-1（135） 第二节 牛顿莱布尼茨公式136 一、变上限定积分（136）二、牛顿莱布尼茨公式（137）思考题5-2（139）习题5-2（139）第三节 定积分的换元积分法与分部积分法140 一、定积分的换元积分法（140）二、定积分的分部积分法（143）思考题5-3（145）习题5-3（145） 第四节 反常积分146 一、积分区间为无限区间的反常积分（146）二、无界函数的反常积分（148）思考题5-4（150）习题5-4（150） 本章小结151 自测题五151 第六章定积分的应用154 第一节 定积分的微元法155 第二节 平面图形的面积156 思考题6-2（159）习题6-2（159） 第三节 体积160 一、旋转体的体积（160）二、平行截面面积为已知的立体体积（162）思考题6-3（162）习题6-3（162） 第四节 平面曲线的弧长163 思考题6-4（164）习题6-4（164） 本章小结165 自测题六165 第七章 微分方程167 第一节 微分方程的基本概念168 思考题7-1（170）习题7-1（170） 第二节 一阶微分方程171 一、可分离变量的微分方程（171）二、齐次方程（172）三、一阶线性微分方程（173）思考题7-2（176）习题7-2（176） 第三节 可降阶的高阶微分方程177 一、y（n）=f(x)型的微分方程（177）二、y″=f(x,y′)型的微分方程（178）三、y″=f(y,y′)型的微分方程（179）思考题7-3（180）习题7-3（180） 第四节 二阶常系数线性微分方程181 一、二阶线性微分方程的解的结构（181）二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法（183）三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（185）思考题7-4（190）习题7-4（191） 本章小结191 自测题七192 第八章 空间解析几何与向量代数195 第一节向量及其线性运算196 一、向量的概念（196）二、向量的线性运算（196）思考题8-1（198）习题8-1（198） 第二节 空间直角坐标系 向量的坐标198 一、空间直角坐标系（198）二、空间中两点间的距离（199）三、向量的坐标表示（200）四、向量的模与方向余弦（201）五、两向量的数量积、向量积（203）思考题8-2（206）习题8-2（207） 第三节 空间平面与直线208 一、平面及其方程（208）二、直线及其方程（210）三、关于平面和直线的进一步讨论（212）思考题8-3（215）习题8-3（215） 第四节 曲面与空间曲线216 一、曲面及其方程（216）二、空间曲线及其方程（219）三、二次曲面（221）思考题8-4（224）习题8-4（224） 本章小结225 自测题八227 第九章 多元函数微分学229 第一节多元函数的基本概念230 一、平面区域的概念（230）二、多元函数的概念（231）三、二元函数的极限（232）四、二元函数的连续性（233）思考题9-1（234）习题9-1（234） 第二节 偏导数235 一、偏导数的定义及计算法（235）二、高阶偏导数（239）思考题9-2（241）习题9-2（241） 第三节 全微分241 一、全微分的概念（241）二、全微分在近似计算中的应用（244）思考题9-3（245）习题9-3（245） 第四节 多元函数的求导法则245 一、多元复合函数的求导法则（245）二、隐函数的求导法（250）思考题9-4（252）习题9-4（252） 第五节 方向导数与梯度253 一、方向导数（253）二、梯度（255）思考题9-5（255）习题9-5（256） 第六节 多元函数的极值256 一、多元函数的极值与最大值、最小值（256）二、条件极值（258）思考题9-6（260）习题9-6（260） 本章小结260 自测题九262 第十章 多元函数积分学264 第一节 二重积分的概念与性质265 一、二重积分的概念（265）二、二重积分的性质（267）思考题10-1（269）习题10-1（269） 第二节 二重积分的计算269 一、利用直角坐标计算二重积分（269）二、利用极坐标计算二重积分（274）思考题10-2（276）习题10-2（276） 本章小结277 自测题十278 第十一章 无穷级数279 第一节 常数项级数280 一、常数项级数的基本概念（280）二、常数项级数的基本性质（282）思考题11-1（285）习题11-1（285） 第二节 常数项级数的审敛法285 一、正项级数及其审敛法（285）二、任意项级数（289）思考题11-2（292）习题11-2（292）第三节 幂级数293 一、函数项级数的一般概念（293）二、幂级数及其收敛域（294）三、幂级数的运算（296）思考题11-3（298）习题11-3（298） 第四节 函数展开成幂级数298 一、泰勒公式（299）二、泰勒级数（301）三、函数展开成幂级数（302）四、幂级数的应用举例（304）思考题11-4（307）习题11-4（307） 本章小结307 自测题十一309