数学物理方法

本书共分六章，第一章是波动方程、热传导方程和调和方程三类经典的数学物理方程的推导和定解条件，同时，还介绍了诸如电报方程、流体力学方程和声波方程、弹性波方程、静电场、稳定电流的电场、稳定电流形成的磁场、交变电磁场和Maxwell方程组等经典方程的推导。第二章和第三章主要讨论一维、二维和三维空间中的波动方程的各种解法。第四章、第五章分别讨论热传导方程和调和方程的解法。第六章是二阶线性偏微分方程概论。每章后附有一定数量的习题，并在书后附有参考答案。另外，本书还有三个附录，把一些书中用到的工具列举在附录中。 全书重点放在波动方程、热传导方程和调和方程这三类经典数学物理方程的各种解法和比较上，书中所介绍的三类典型数学物理方程的解法不仅多而且都有相当的深度。同时加强实际背景的阐述，突出数学物理方法作为数学应用于物理与工程技术的桥梁作用。 本书仅限于讲述三类经典的数学物理方程的解法和有关问题，所介绍的解法要比国内外同类书中所讲述的方法多得多，而且引进不少现代方法，对复变函数、特殊函数几乎毫不涉及。本书可作为高等院校数学专业的数学物理方法课程的教材或参考书使用。

王向东 ---------------------------- 王向东，教授，硕士生导师。教育部数学专业教学指导委员会委员，广东省工业与应用数学学会副理事长，广东省数学学会理事，佛山市数学学会理事长，佛山科技学院数学重点学科带头人，华南理工大学硕士生导师、华南师范大学硕士生导师，现任佛山科学技术学院科技处、研究生处处长。主要研究领域为非线性泛函分析与非线性偏微分方程理论及应用，非线性数据处理，数学教育（尤其是竞赛数学）等。 张彩霞 ---------------------------- 张彩霞，佛山科技学院机电工程与自动化系教授，主要研究自动化，在国内核心期刊发表论文数篇，研究专利80余项。 梁??廷 ---------------------------- 梁??廷，中山大学数学学院教授，主要研究方向为非线性偏微分方程理论，代表成果有，专著《索伯列夫空间论》等。

目 录 第一章 方程的推导和定解条件………………………………………………… 1 §1.1 弦振动方程和定解条件 …………………………………………… 1 §1.2 薄膜的振动和定解条件 …………………………………………… 7 §1.3 热传导方程和扩散方程…………………………………………… 11 §1.4 电报方程…………………………………………………………… 15 §1.5 流体力学方程和声波方程………………………………………… 18 §1.6 弹性波方程………………………………………………………… 22 §1.7 静电场……………………………………………………………… 30 §1.8 稳定电流的电场…………………………………………………… 34 §1.9 稳定电流形成的磁场……………………………………………… 38 §1.10 交变电磁场和 Maxwell方程组 ………………………………… 42 习题一 ……………………………………………………………………… 50 第二章 波动方程 ……………………………………………………………… 53 §2.1 行波法解一维齐次波动方程的初值问题………………………… 53 §2.2 非齐次波动方程初值问题的解和Duhamel原理 ……………… 63 §2.3 直接积分法解一维波动方程的初值问题………………………… 67 §2.4 特征线法解波动方程的初值问题………………………………… 71 §2.5 Fourier积分变换法解一维波动方程的初值问题 ……………… 75 §2.6 Laplace变换解一维波动方程的初值问题 ……………………… 79 *§2.7 周期函数的Fourier级数展开 …………………………………… 83 §2.8 分离变量法解一维波动方程的混合初值、边值问题 …………… 94 习题二……………………………………………………………………… 110 第三章 二、三维空间中的波动方程 ………………………………………… 115 §3.1 二、三维空间中波动方程初值问题的解………………………… 115 §3.2 非齐次波动方程初值问题的解 ………………………………… 125 *§3.3 Fourier积分变换法解三维空间波动方程初值问题…………… 126 §3.4 点源辐射解及在解波动方程初值问题中的应用 ……………… 131 §3.5 波动方程初值问题和混合初值、边值问题解的唯一性………… 137 习题三……………………………………………………………………… 146 第四章 热传导方程…………………………………………………………… 149 §4.1 Fourier积分变换解热传导方程的初值问题…………………… 149 §4.2 Fourier正弦或余弦变换解半无限区间上的热传导方程的 混合初值、边值问题……………………………………………… 155 §4.3 有限区间上热传导方程的混合初值、边值问题………………… 168 §4.4 Laplace变换解有限区间上热传导方程的混合初值、边值 问题 ……………………………………………………………… 170 *§4.5 一维热传导方程初值问题的周期解 …………………………… 176 §4.6 热传导方程解的最大值原理和唯一性定理 …………………… 179 习题四……………………………………………………………………… 181 第五章 调和方程……………………………………………………………… 185 §5.1 分离变量法解圆域上调和方程的Dirichlet问题 ……………… 185 §5.2 Fourier积分变换解半平面上调和方程边值问题……………… 194 §5.3 调和函数的积分表示式 ………………………………………… 195 §5.4 Green函数和Poisson公式……………………………………… 201 §5.5 Green函数的性质 ……………………………………………… 208 §5.6 调和方程第二、第三边值问题…………………………………… 214 §5.7 调和函数的性质 ………………………………………………… 219 习题五……………………………………………………………………… 225 第六章 二阶线性偏微分方程概论…………………………………………… 228 §6.1 基本概念 ………………………………………………………… 228 §6.2 二阶方程的分类 ………………………………………………… 230 §6.3 二阶方程的特征理论 …………………………………………… 239 §6.4 推广的Green公式及应用 ……………………………………… 248 §6.5 三类方程的总结 ………………………………………………… 258 习题六……………………………………………………………………… 264 附录1 Fourier变换与Laplace变换 ………………………………………… 266 附录2 Fourier变换与Laplace变换简表 …………………………………… 277 附录3 Γ函数 ………………………………………………………………… 280 习题参考答案 ………………………………………………………………… 285 参考文献………………………………………………………………………… 301