高等代数简明教程（下册）（第三版）

本书是综合大学、师范院校高等代数课程教学用书。本书第一版被评为“普通高等教育“十一五”国家 级规划教材”。此教材有两个特色：一是贴切课堂教学和学生自学的实际，由浅入深。二是以代数学的研究对象和基本思想、基本方法作为本书的主线，从而保证学生受到较充分的代数学训练。 这次修订的第三版，作者计划将一些不合适的内容以及过难的内容进行一些调整。个别理论内容进行重新编写，使得本书更易于理解。 本书第二版已经出版12年，每年仍然能维持4000册以上的销量，在数学教学界的口碑极好。这次的第三版也是许多任课教师要求，在与作者商量后决定的。

蓝以中 ---------------------------- 蓝以中，北京大学数学科学学院教授。1963年毕业于北京大学数学力学系，长期从事代数学和数论的科学研究和教学工作。

第六章 带度量的线性空间………………………………………… 1 §1 欧几里得空间的定义和基本性质 …………………………… 1 1. 欧几里得空间的定义………………………………………… 1 2. 有限维的欧氏空间 ………………………………………… 5 3. 正交补 …………………………………………………… 13 习题一 ……………………………………………………… 14 §2 欧几里得空间中的特殊线性变换 …………………………… 18 1. 正交变换 ………………………………………………… 18 2. 对称变换 ………………………………………………… 26 3. 用正交矩阵化实对称矩阵成对角形…………………………… 30 习题二 ……………………………………………………… 39 §3 酉空间 …………………………………………………… 43 1. 酉空间的基本概念 ………………………………………… 43 2. 酉变换 …………………………………………………… 48 3. 正规变换与埃尔米特变换…………………………………… 49 习题三 ……………………………………………………… 55 *§4 四维时空空间与辛空间 …………………………………… 58 1. 四维时空空间的度量 ……………………………………… 59 2. 辛空间 …………………………………………………… 64 习题四 ……………………………………………………… 70 本章小结………………………………………………………… 72 第七章 线性变换的若尔当标准形 ……………………………… 74 §1 幂零线性变换的若尔当标准形 ……………………………… 74 1. 循环不变子空间 …………………………………………… 75 2. 幂零线性变换的若尔当标准形 ……………………………… 78 习题一 ……………………………………………………… 81 §2 一般线性变换的若尔当标准形 ……………………………… 83 1. 若尔当块与若尔当形 ……………………………………… 83 2. 若尔当标准形的存在性 …………………………………… 84 3. 若尔当标准形的唯一性 …………………………………… 87 4. 若尔当标准形的计算方法…………………………………… 91 习题二 ……………………………………………………… 92 §3 最小多项式………………………………………………… 95 1. 方阵的化零多项式 ………………………………………… 95 2. 方阵的最小多项式 ………………………………………… 97 习题三 …………………………………………………… 102 *§4 矩阵函数 ………………………………………………… 104 1. 矩阵序列的极限 ………………………………………… 104 2. 矩阵函数 ……………………………………………… 106 3. 欧氏空间中的旋转 ……………………………………… 117 习题四 …………………………………………………… 119 本章小结 ……………………………………………………… 122 第八章 有理整数环……………………………………………… 124 §1 有理整数环的基本概念 …………………………………… 124 1. 整除性理论 ……………………………………………… 125 2. 有理整数环的理想 ……………………………………… 127 3. 因子分解唯一定理 ……………………………………… 130 习题一 …………………………………………………… 132 §2 同余式 …………………………………………………… 133 1. 欧拉函数 ……………………………………………… 135 2. 中国剩余定理 …………………………………………… 138 习题二 …………………………………………………… 139 §3 模m 的剩余类环 ………………………………………… 140 习题三 …………………………………………………… 142 本章小结 ……………………………………………………… 143 第九章 一元多项式环…………………………………………… 145 §1 一元多项式环的基本理论 ………………………………… 145 1. 整除理论 ……………………………………………… 148 2. K[x]内的理想 ………………………………………… 151 3. 在线性代数中的应用……………………………………… 154 4. 因式分解唯一定理 ……………………………………… 155 5. 重因式 ………………………………………………… 158 6. 中国剩余定理 …………………………………………… 161 习题一 …………………………………………………… 166 §2 C,R,Q上多项式的因式分解 …………………………… 169 1. C[x]与R[x]内多项式的因式分解………………………… 169 2. Q[x]内多项式的因式分解………………………………… 171 3. Z[x]内多项式的因式分解………………………………… 174 习题二 …………………………………………………… 177 *§3 实系数多项式根的分布 …………………………………… 179 习题三 …………………………………………………… 184 *§4 单变量有理函数域 ……………………………………… 185 1. 单变量有理函数域的定义 ………………………………… 185 2. 有理分式分解为准素分式 ………………………………… 188 习题四 …………………………………………………… 191 §5 群、环和域的基本概念 …………………………………… 192 1. 群的基本概念 …………………………………………… 192 2. 环和域的基本概念 ……………………………………… 196 习题五 …………………………………………………… 200 本章小结 ……………………………………………………… 201 第十章 多元多项式环…………………………………………… 204 §1 多元多项式环的基本概念 ………………………………… 204 1. 整除性与因式分解 ……………………………………… 209 2. 多变量有理函数域 ……………………………………… 210 习题一 …………………………………………………… 211 §2 对称多项式 ……………………………………………… 213 习题二 …………………………………………………… 222 §3 结式……………………………………………………… 223 1. 结式的概念 ……………………………………………… 223 2. 结式的计算 ……………………………………………… 225 习题三 …………………………………………………… 231 本章小结 ……………………………………………………… 232 *第十一章 n 维仿射空间与n 维射影空间 …………………… 233 §1 n 维仿射空间 …………………………………………… 233 1. Rn 内的仿射变换与正交变换 ……………………………… 235 2. Rn 中二次超曲面的分类…………………………………… 238 3. 多元函数的极值 ………………………………………… 243 习题一 …………………………………………………… 247 §2 n 维射影空间 …………………………………………… 248 习题二 …………………………………………………… 256 *第十二章 张量积与外代数 …………………………………… 257 §1 多重线性映射 …………………………………………… 257 1. 线性空间的对偶空间……………………………………… 257 2. 多重线性映射 …………………………………………… 259 习题一 …………………………………………………… 262 §2 线性空间的张量积 ……………………………………… 263 1. 张量积的定义 …………………………………………… 263 2. 线性变换的张量积 ……………………………………… 268 习题二 …………………………………………………… 269 §3 张量……………………………………………………… 270 1. 张量的基本概念 ………………………………………… 270 2. 张量的加法和乘法 ……………………………………… 273 习题三 …………………………………………………… 274 §4 外代数 …………………………………………………… 275 习题四 …………………………………………………… 284 习题答案与提示…………………………………………………… 287