卷绕: 拓扑、几何和分析中的卷绕数(影印版)

卷绕数是拓扑学中最基 本的不变量之一，它衡量一 个动点P绕一个不动点Q运 动的次数，前提是P沿着不 经过Q的路径移动，且P的 最终位置与起始位置相同。 这个简单的想法有着影响深 远的应用。本书的读者将学 到，卷绕数如何帮助我们证 明每个多项式方程都有一个 根（代数基本定理），保证 空间中三个物体通过单个平 面切割的公平划分（火腿三 明治定理），解释为什么每 条简单闭曲线都有内部和外 部（Jordan曲线定理），将 微积分与曲率和向量场的奇 点相关联（Hopf指数定理 ），允许从无穷中减去无穷 并得到有限的答案 （Toeplitz算子），对矩阵 群的拓扑提供基本且优美的 洞察力（Bott周期性定理） 。本书适合对卷绕数的概念 以及在分析、微分几何和拓 扑等数学领域中出现的卷绕 数感兴趣的本科生和低年级 研究生阅读。

Foreword: MASS and REU at Penn State University Preface Chapter 1.Prelude: Love, Hate, and Exponentials §1.1.Two sets of travelers §1.2.Winding around §1.3.The most important function in mathematics §1.4.Exercises Chapter 2.Paths and Homotopies §2.1.Path connectedness §2.2.Homotopy §2.3.Homotopies and simple-connectivity §2.4.Exercises Chapter 3.The Winding Number §3.1.Maps to the punctured plane §3.2.The winding number §3.3.Computing winding numbers §3.4.Smooth paths and loops §3.5.Counting roots via winding numbers §3.6.Exercises Chapter 4.Topology of the Plane §4.1.Some classic theorems §4.2.The Jordan curve theorem Ⅰ §4.3.The Jordan curve theorem Ⅱ §4.4.Inside the Jordan curve §4.5.Exercises Chapter 5.Integrals and the Winding Number §5.1.Differential forms and integration §5.2.Closed and exact forms §5.3.The winding number via integration §5.4.Homology §5.5.Cauchy's theorem §5.6.A glimpse at higher dimensions §5.7.Exercises Chapter 6.Vector Fields and the Rotation Number §6.1.The rotation number §6.2.Curvature and the rotation number §6.3.Vector fields and singularities §6.4.Vector fields and surfaces §6.5.Exercises Chapter 7.The Winding Number in Functional Analysis §7.1.The Fredholm index §7.2.Atkinson's theorem §7.3.Toeplitz operators §7.4.The Toeplitz index theorem §7.5.Exercises Chapter 8.Coverings and the Fundamental Group §8.1.The fundamental group §8.2.Covering and lifting §8.3.Group actions §8.4.Examples