数学的思想、方法和应用(第3版)

本书是教育部“十一五”国家级规划教材，它是在北京市精品教材的基础上做修订版。修订的内容：增加数学史，以及对微积分和初等概率论作了改写。

北大数学学院教授

目录 第3版序言(1) 第2版前言(2) 序(3) 前言(5) 数学新论(1) 绪论(2) §1概论(2) §2数学发展简史(4) 第一章数系与第一次数学危机 §1数系 1.1自然数与整数 1.2有理数与无理数 1.3实数 §2毕达哥拉斯学派关于数的认识 §3第一次数学危机 §4第一次数学危机的消除 §5反证法 习题 第二章连分数及其在天文学上的 应用 §1辗转相除法 §2连分数 2.1引言 2.2简单连分数和它的渐近分数 §3连分数在天文学上的应用 3.1为什么四年一闰，而百年又少一闰? 3.2农历的月大月小、闰年闰月 3.3二十四节气 3.4闰月放在哪? 3.5日月食 3.6干支纪年 习题 第三章数学命题和证明方法 §1概念，概念的外延和内涵 §2等价关系与分类(划分) §3定义 §4公理 §5定理 5.1定理的结构 5.2定理的形式 5.3定理的互逆性 习题 §6充分条件和必要条件 6.1充分的特征 6.2必要的特征 6.3必要而且充分的特征 习题 §7演绎法 §8分析与综合 §9归纳法 §10数学归纳法 习题 第四章欧氏几何与第五公设 §1几何学的诞生 §2几何学的研究对象和研究方法 §3欧几里得的《原本》 §4第五公设 §5非欧几里得几何的诞生 §6罗巴切夫斯基的解答 §7非欧几何的相容性 §8黎曼的非欧几何 §9非欧几何诞生的意义 进入高等数学 第五章线性代数初步 §1二元一次联立方程组与二阶行列式 §2三元一次联立方程组与三阶行列式 习题 §3行列式的性质 3.1矩阵、行列式、余子式 3.2按代数余子式展开行列式 3.3行列式的性质 习题 §4高斯消元法 4.1消元法 4.2线性方程组的增广矩阵 4.3高斯消元法 4.4高斯若当消元法 习题 §5矩阵代数 5.1矩阵 5.2矩阵的加法与数乘矩阵 5.3矩阵的乘法 5.4逆矩阵 5.5线性方程组 习题 第六章空间解析几何 §1空间直角坐标系 1.1空间直角坐标系 1.2点的坐标 习题 §2向量代数 2.1标量与向量 2.2向量的加减法 2.3开普勒三定律 2.4开普勒第二定律的牛顿证明 2.5向量的数乘运算 2.6向量在轴上的投影 2.7向量的坐标 2.8向量的模与方向余弦 2.9向量的数量积 2.10向量的叉乘 2.11混合积 习题 §3平面 3.1点法式方程 3.2一般式方程 3.3截距式方程 3.4两平面间的关系 习题 §4空间中的直线 4.1直线的参数方程 4.2直线的标准方程 4.3直线的一般方程 4.4三元一次联立方程组的几何解释 习题 §5二次曲面 5.1图形与方程 5.2球面 5.3椭球面 5.4平行截口法 5.5椭圆抛物面 5.6单叶双曲面 5.7双叶双曲面 5.8双曲抛物面 5.9二次柱面 5.10二次锥面 5.11二次曲面小结 习题 §6应用一瞥 6.1望远镜设计 6.2空中定位 6.3机器人与几何学 6.4青光眼的诊断 微积分初步 第七章函数与极限 §1预备知识 1.1区间 1.2绝对值 1.3邻域 §2函数 2.1变量与常量 2.2函数概念 2.3单调函数 2.4函数的奇偶性 2.5反函数 2.6常数函数与线性函数 2.7基本初等函数的图形 2.8复合函数与初等函数 §3极限概念 3.1抛物线下的面积 3.2序列的极限 3.3切线问题 3.4函数的极限 3.5单边极限 3.6极限的四则运算 3.7两个重要极限 习题 §4函数的连续性 4.1连续性的概念 4.2在闭区间上连续函数的性质 §5再论函数与极限 5.1函数 5.2极限 第八章导数 §1引言 §2预备知识 2.1Δ符号 2.2平均变化率 习题 §3导数概念 3.1瞬时速度 3.2再论切线问题 3.3导数定义 3.4可导与连续 §4导数公式 4.1常数函数的导数 4.2函数f(x)=x的导数 4.3幂函数的导数 4.4导数的四则运算 4.5链锁法则 4.6高阶导数 习题 §5三角函数的导数公式 5.1正弦函数 5.2余弦函数 5.3正切函数 5.4余切函数 习题 §6指数函数与对数函数的导数公式 6.1对数函数 6.2指数函数 6.3幂函数 §7反三角函数的导数公式 7.1反正弦函数 7.2反余弦函数 7.3反正切函数 7.4反余切函数 习题 §8基本公式表 8.1基本初等函数的求导公式 8.2导数运算法则 §9相对变化率 习题 §10微商中值定理 10.1函数的局部极值，费马定理 10.2中值定理 §11利用导数研究函数 11.1函数的单调性 11.2极值点的判别 11.3曲线的凹凸 11.4曲线的渐近线 11.5函数的图形 11.6在经济学中的应用 11.7极值的应用 习题 第九章微分 §1微分定义 §2微分公式 §3基本初等函数微分表 §4微分的应用 习题 §5再论导数与微分 5.1导数与微分的概念 5.2导数与微分小结 第十章不定积分 §1基本概念 §2不定积分的简单运算法则 §3基本初等函数的不定积分表 §4第一换元积分法 习题 §5第二换元积分法 习题 §6分部积分法 习题 第十一章定积分 §1定积分的定义 1.1面积问题 1.2路程问题 1.3定积分的定义 1.4定积分的几何意义 §2定积分的简单性质 §3微积分基本定理 习题 §4定积分的换元积分法与分部积分法 4.1换元积分法 4.2分部积分法 习题 §5定积分的应用 5.1如何建立积分式 5.2平面图形的面积 5.3旋转体的体积 5.4平均值 习题 §6?穷限积分 §7再论微分学与积分学 7.1微分学 7.2积分学 随机性数学 第十二章概率论初步 §1随机现象 1.1必然现象与随机现象 1.2随机实验 1.3随机事件 §2事件的关系与运算 2.1基本事件与复杂事件 2.2事件的集合表示，样本空间 2.3事件的相等与包含 2.4事件的和、积与差 2.5对立事件 2.6互不相容事件完备组 2.7运算法则 习题 §3概率 3.1概率的概念 3.2概率的统计定义 3.3概率的性质 3.4古典概型 3.5几何概率 3.6概率的数学定义 3.7条件概率与乘法公式 3.8独立性 3.9全概率公式 3.10逆概率公式(贝叶斯公式) 习题 §4随机变量及其分布 4.1随机变量 4.2两点分布 4.3二项分布 4.4连续型随机变量 4.5正态分布 4.6正态分布的分布函数 4.7从平均数到数学期望 4.8连续型随机变量的数学期望 4.9随机变量的方差 4.10几种随机变量的方差 4.11正态分布的应用 习题 §5两个实例 5.1色盲的遗传问题 5.2孟德尔遗传定律 面向实际 第十三章数学模型 §1选票分配 1.1选举悖论 1.2选票分配问题 1.3亚拉巴马悖论 §2体育训练问题 §3指数增长与衰减问题 3.1一个简单的微分方程 3.2人口模型 3.3考古学中的应用 3.4牛顿冷却定律 3.5范·米格伦伪造名画案 3.6再论人口模型 3.7新产品销售模型 习题 第十四章数学的地位和作用 §1数学教育 1.1关于素质教育 1.2数学素养 1.3数学是思维的工具 1.4数学与美 1.5数学提供了有特色的思考方式 1.6培养四种本领 1.7数学与就业 1.8当前科学发展的主要趋势 §2自然数是万物之母 2.1数学的重要性 2.2古希腊的数学 §3数学与自然科学 3.1宇宙的和谐 3.2物理学 3.3生物学 §4数学与人文科学 4.1数学与西方政治 4.2人口论 4.3统计方法 §5数学与艺术 5.1傅里叶的功绩 5.2数学与绘画 5.3从艺术中诞生的科学 §6笛卡儿的方法论及其影响 附表标准正态分布表 附录习题答案与提示 参考书目