分形和现代分析引论

本书主要介绍了一些比 较现代的分析数学的重要概 念和定理以及分形的相关知 识，内容包括：Cantor集及 其数字系统描述、距离空间 和不动点定理、迭代函数系 统、简明的测度论、 Hausdorff测度、分形的维 数、Vitali覆盖引理和位势、 有界变差函数和可求长度曲 线、Brouwer定理等。本书 的亮点之一是给出了一维的 Rademacher定理的证明以 及Brouwer不动点定理的简 单证明。 本书可作为数学及相关 专业高年级本科生和研究生 学习分形理论和现代分析的 教学参考资料，也可供科研 工作者学习使用。

1 引论 2 基础知识 2.1 几个基本概念 2.2 紧集 2.3 函数的连续性 2.4 连通性 2.5 平面上的Peano曲线 2.6 凸函数 2.7 Lebesgue引理 3 Cantor集C 4 Cantor集的数字系统描述 4.1 数字系统 4.2 Cantor-Lebesgue函数 5 距离空间和不动点定理 5.1 Newton迭代法 5.2 欧氏空间中的压缩映射定理 5.3 距离空间上的压缩映射 6 迭代函数系统IFS 6.1 作为不动点的分形 6.2 Hausdorff距离和不变集 6.3 自相似和相似的分形例子 6.4 相似变换迭代函数系统 7 简明测度论 7.1 测度的概念 7.2 可测函数和可积函数 7.3 Lebesgue测度 8 Brunn-Minkowski不等式和等周不等式 8.1 Brunn-Minkowski不等式 8.2 等周不等式 9 Hausdorff测度 Hausdorff测度的定义 10 Hn=Ln：n维Hausdorff测度就是n维Lebesgue测度 10.1 Hn=Ln 10.2 等直径不等式 11 分形的维数 11.1 Hausdorff维数 11.2 H?lder-y映射 11.3 Cantor集C的Hausdorff测度 12 盒子维数、拓扑维数和Sierpinski三角形 12.1 盒子维数 12.2 拓扑维数 12.3 Sierpinski三角形 13 Vitali覆盖引理和位势 13.1 Vitali覆盖引理 13.2 Newton位势 13.3 质量分布和位势 14 有界变差函数 14.1 有界变差函数和可求长度曲线 14.2 Lebesgue可微定理和Rademacher定理 14.3 可求长度曲线的长度