现代常微分方程教程

本书主要内容包括：基 本概念和基本空间、初值问 题解的存在唯一性、一阶微 分方程的初等解法、高阶微 分方程、线性微分方程组、 边值问题和稳定性理论初步 ，共7章。为了引进常微分 方程“弱解”概念，从而用现 代偏微分方程理念讲解常微 分方程解的适定性理论，同 时考虑到，目前部分高校将 常微分方程课程安排在泛函 分析课程之后，本书第一章 介绍了距离空间和线性赋范 空间的相关内容。另外，我 们对数学建模方面的内容作 了特别的编排，在第二章设 置了一个在研究流体力学方 程中遇到的常微分方程解的 存在性证明的例子。 本书可以作为综合性大 学或师范类院校数学与应用 数学专业本科生常微分方程 课程的教材或教学参考书， 也可供广大工程技术人员及 科学研究人员自学和参考。

第1章 基本概念与基本空间 §1.1 引例 §1.2 基本概念 1.2.1 常微分方程和偏微分方程 1.2.2 线性微分方程和非线性微分方程 1.2.3 解、隐式解、通解 §1.3 积分曲线和方向场 §1.4 定解问题 1.4.1 初值问题的定义 1.4.2 边值问题的定义 §1.5 距离空间及其完备性 1.5.1 距离空间 1.5.2 连续函数空间 §1.6 距离空间中的不动点定理 §1.7 赋范线性空间 1.7.1 基本概念 1.7.2 有限维赋范线性空间的刻画 第2章 初值问题解的存在唯一性 §2.1 Picard存在唯一性定理 2.1.1 显式方程解的存在唯一性 2.1.2 隐式方程解的存在唯一性 §2.2 数值解 2.2.1 Euler方法 2.2.2 Runge-Kutta方法 §2.3 Peano存在定理 §2.4 解的延拓与解的整体存在性 2.4.1 解的延拓 2.4.2 解的整体存在性 §2.5 比较定理及其应用 §2.6 解对初值的连续依赖 §2.7 解对初值的可微性 §2.8 不动点定理与解的存在性 §2.9 弱解的定义及存在性定理 §2.10 弱解的唯一性和Gronwall不等式 §2.11 不动点定理的应用 第3章 一阶微分方程的初等解法 §3.1 分离变量法 §3.2 变量替换法 3.2.1 一阶齐次方程 3.2.2 可化为一阶齐次方程的方程 §3.3 积分因子法 3.3.1 恰当方程 3.3.2 积分因子 §3.4 常数变易法 3.4.1 一阶线性微分方程 3.4.2 几类特殊方程 §3.5 隐式方程的特殊解法 3.5.1 微分法 3.5.2 参数法 3.5.3 奇解