基于算例的科学计算引论（基础篇）

数值计算已经同观察实 验、理论分析一起成为了现 代科学研究的三大基础手段 。无论是数学专业还是各类 工科专业的学生，学习一些 与数值计算相关的东西都是 很有必要的。本系列书分为 基础篇和提高篇两部，是编 者为了适应时代的发展和实 际需要并结合多年教学经验 不断积累编写而成。本书是 基础篇，内容包括数学和软 件基础、科学计算、非线性 方程求根、线性方程组的直 接法、插值与逼近、数值积 分和数值微分等六章。书中 加入了丰富的数值算例，通 过对这些算例的学习，读者 既可以熟悉算法的内容，还 能提升自己解决实际问题的 能力；同时，大量的数值算 例借助于Mathematica和 MATLAB编程完成，通过数 学软件进行科学计算学习可 以使读者更加关注算法本身 ，提高学习的效率，并加深 对算法的理解。 本书既适合作为理工科 类本科生和工科类研究生学 习科学计算的入门教材，也 可供各类对数值计算感兴趣 的读者阅读，甚至可作为一 本学习和提升Mathematica 软件水平的参考书。

1 准备篇：数学与软件基础 1.1 微积分基础 1.1.1 连续函数的性质 1.1.2 可微函数的性质 1.1.3 大O和小o 1.1.4 积分的性质 1.1.5 多元函数相关 1.2 线性代数基础 1.2.1 线性空间 1.2.2 矩阵空间 1.3 Mathematica基础 1.3.1 Mathematica简介 1.3.2 Mathematica的基本操作与运算 1.3.3 Mathematica的函数与表达式 1.3.4 Mathematica的表与字符串 1.3.5 Mathematica中常见的数学运算 1.3.6 Mathematica图形操作 1.3.7 Mathematica编程 1.3.8 Mathematica系统的补充说明 2 科学计算 2.1 科学计算简介 2.1.1 数值分析 2.1.2 计算机模拟 2.1.3 一般策略 2.2 误差与分析 2.2.1 误差的来源 2.2.2 绝对误差和相对误差 2.2.3 计算机代数 2.2.4 如何进行数据误差分析 2.3 算法与分析 2.3.1 算法的稳定性 2.3.2 算法的复杂度 2.4 基本算法与建议 2.4.1 基本算法 2.4.2 关于数值计算的建议 2.5 习题 3 非线性方程求根 3.1 非线性问题 3.1.1 非线性 3.1.2 非线性关系的一般表述方式 3.1.3 求值问题再述 3.1.4 求根问题的解 3.1.5 求根问题的条件性 3.2 根的搜索 3.2.1 数值求解的一般过程 3.2.2 根的搜索 3.2.3 二分法 3.2.4 试值法 3.3 不动点迭代法 3.3.1 方法简介 3.3.2 不动点迭代的收敛定理 3.3.3 局部收敛性定理 3.3.4 迭代序列的收敛加速 3.4 Newton法 3.4.1 Newton法的导出 3.4.2 Newton法的理论分析与算例 3.4.3 Newton法的进一步分析 3.4.4 割线法 3.5 非线性方程组求根 3.5.1 不动点迭代法 3.5.2 Newton法 3.6 通过软件求根 3.6.1 利用Mathematica 3.6.2 利用MATLAB 3.7 习题 4 线性方程组的直接法 4.1 线性方程组 4.1.1 线性系统的基本问题 4.1.2 线性系统的解 4.1.3 如何数值求解 4.2 LU分解 4.2.1 高斯消去法 4.2.2 基本消去矩阵 4.2.3 LU分解 4.3 列主元高斯消去法 4.3.1 为何要选主元 4.3.2 如何选主元 4.3.3 列主元高斯消去法 4.3.4 PLU分解的实现 4.3.5 直接使用MATLAB函数 4.3.6 全主元高斯消去法 4.3.7 无需选主元的系统 4.3.8 LU分解和PLU分解的其它实现 4.4 特殊类型的线性系统 4.4.1 带状系统 4.4.2 三对角矩阵与追赶法 4.4.3 一个推广：周期边界条件的系统求解 4.4.4 对称正定矩阵 4.4.5 正交系统 4.5 逆矩阵相关 4.5.1 A-1的计算 4.5.2 A-1b同直接解的区别 4.6 误差分析 4.6.1 问题的“好”和“坏” 4.6.2 向量范数 4.6.3 矩阵范数 4.6.4 线性系统的误差分析 4.6.5 条件数 4.6.6 条件数的计算 4.6.7 再谈第二类初等变换 4.6.8 余量 4.6.9 问题好坏的判别与处理 4.7 习题 5 插值与逼近 5.1 离散问题 5.2 一般插值问题 5.2.1 对插值函数的要求 5.2.2 多项式插值 5.2.3 单项式基底下的多项式插值 5.2.4 一般基底下的插值多项式 5.3 常用插值公式与算法 5.3.1 Lagrange型插值多项式 5.3.2 插值误差余项 5.3.3 Lagrange插值的优缺点讨论 5.3.4 Newton型插值公式 5.3.5 差商与Newton插值 5.3.6 Newton型插值的进一步探讨 5.3.7 Lagrange插值公式的改进及其应用 5.3.8 一种带导数的插值 5.3.9 Hermite插值 5.4 分段插值 5.4.1 高次插值与Runge现象 5.4.2 分段线性插值 5.4.3 分段Hermite插值 5.4.4 样条插值与三次样条插值 5.5 函数逼近 5.5.1 函数逼近简介 5.5.2 最佳一致逼近简介 5.5.3 最佳平方逼近 5.6 利用数学软件完成插值与逼近 5.6.1 利用Mathematica进行插值 5.6.2 利用Mathematica进行拟合 5.6.3 利用MATLAB进行插值 5.6.4 利用MATLAB进行拟合 5.7 习题 6 数值积分与数值微分 6.1 积分与数值积分 6.1.1 定积分简介 6.1.2 数值积分 6.2 插值型求积公式 6.2.1 等距节点上的插值型求积公式 6.2.2 常用求积公式 6.2.3 代数精度及误差分析 6.2.4 精度与数值稳定性 6.2.5 Newton-Cotes公式的总结 6.3 复化求积公式 6.3.1 复化梯形公式 6.3.2 复化Simpson公式 6.3.3 复化Cotes公式 6.3.4 复化公式的阶 6.3.5 Romberg求积公式 6.4 Gauss型求积公式 6.4.1 Fejer公式和Clenshaw-Curtis公式 6.4.2 待定