复分析与Riemann曲面教程（影印版）

复分析是数学的基石， 是研究生数学研究中的基本 元素。本书强调初等复分析 的直观几何基础，自然而然 地引出Riemann曲面理论。 本书以单复变全纯函数 的基本理论开篇。前两章是 关于复分析的一个快速但全 面的教程。第三章专门研究 圆盘和半平面上的调和函数 ，重点是Dirichlet问题。从 第四章起，作者开始较为详 尽和严格地介绍Riemann曲 面理论：从一开始就强调几 何方面，并以椭圆函数和椭 圆积分等经典主题作为抽象 理论的例证；解释了紧 Riemann曲面的特殊作用， 并建立了它们与代数方程的 联系。本书的最后三章分别 介绍了涉及Riemann曲面理 论核心技术内容的三个主要 结果：Hodge分解定理、 Riemann-Roch定理和单值 化定理。 本书旨在提供一个详细 、快速的导引，介绍单复变 理论中对数学其他领域最有 用的部分，这些领域包括几 何群论、动力学、代数几何 、数论和泛函分析。全书共 有70多幅插图用来阐述相关 概念和思想，每章末尾的习 题为读者提供了充分的实践 和独立学习的机会。 本书适合对于复分析、 共形几何、Riemann曲面、 单值化、调和函数、 Riemann曲面上的微分形式 以及Riemann-Roch定理感 兴趣的研究生阅读，也可供 相关领域的研究人员参考。

Preface Acknowledgments Chapter 1.From i to z: the basics of complex analysis §1.1.The field of complex numbers §1.2.Holomorphic, analytic, and conformal §1.3.The Riemann sphere §1.4.M?bius transformations §1.5.The hyperbolic plane and the Poincaré disk §1.6.Complex integration, Cauchy theorems §1.7.Applications of Cauchy's theorems §1.8.Harmonic functions §1.9.Problems Chapter 2.From z to the Riemann mapping theorem: some finer points of basic complex analysis §2.1.The winding number §2.2.The global form of Cauchy's theorem §2.3.Isolated singularities and residues §2.4.Analytic continuation §2.5.Convergence and normal families §2.6.The Mittag-Leffler and Weierstrass theorems §2.7.The Riemann mapping theorem §2.8.Runge's theorem and simple connectivity §2.9.Problems Chapter 3.Harmonic functions §3.1.The Poisson kernel §3.2.The Poisson kernel from the probabilistic point of view §3.3.Hardy classes of harmonic functions §3.4.Almost everywhere convergence to the boundary data §3.5.Hardy spaces of analytic functions §3.6.Riesz theorems §3.7.Entire functions of finite order §3.8.A gallery of conformal plots §3.9.Problems Chapter 4.Riemann surfaces: definitions, examples, basic properties §4.1.The basic definitions §4.2.Examples and constructions of Riemann surfaces §4.3.Functions on Riemann surfaces §4.4.Degree and genus §4.5.Riemann surfaces as quotients §4.6.Elliptic functions §4.7.Covering the plane with two or more points removed §4.8.Groups of M?bius transforms §4.9.Problems Chapter 5.Analytic continuation, covering surfaces, and algebraic functions §5.1.Analytic continuation §5.2.The unramified Riemann surface of an analytic germ §5.3.The ramified Riemann surface of an analytic germ §5.4.Algebraic germs and functions §5.5.Algebraic equations generated by compact surfaces §5.6.Some compact surfaces and their associated polynomials §5.7.ODEs with meromorphic coefficients