古典分析导引（影印版）

本书对古典分析中的特 定主题做了严格处理，提供 了许多应用和示例。书中内 容基于高等微积分的基本原 理，不涉及复分析和 Lebesgue积分等更复杂的 技术，适合本科水平阅读； 涵盖的主题包括：Fourier 级数和积分、近似理论、 Fourier公式、Γ函数、 Bernoulli数和多项式、 Riemann zeta函数、 Tauber定理、椭圆积分、 Cantor集的分支，以及微分 方程的理论探讨，包括正则 奇点的幂级数解、Bessel函 数、超几何函数和Sturm比 较理论。预备章节快速回顾 了基本原理和更多的背景知 识，例如无穷乘积和常用不 等式。本书适合读者自学， 但也可用作高等微积分课程 第二学期的教材。每章末尾 配有大量的练习题。历史注 记讨论了数学思想的演变及 其在物理中的应用。本书的 特色在于穿插了重要数学家 的人物小传和画像。尽管本 书为本科生编写，但其他读 者可以收获关于经典主题的 素材，这些主题是纯粹数学 和应用数学近代发展的基础 。

Preface Chapter 1. Basic Principles 1.1. Mathematical induction 1.2. Real numbers 1.3. Completeness principles 1.4. Numerical sequences 1.5. Infinite series 1.6. Continuous functions and derivatives 1.7. The Riemann integral 1.8. Uniform convergence 1.9. Historical remarks 1.10. Metric spaces 1.11. Complex numbers Exercises Chapter 2. Special Sequences 2.1. The number e 2.2. Irrationality of m 2.3. Euler's constant 2.4. Vieta's product formula 2.5. Wallis product formula 2.6. Stirling's formula Exercises Chapter 3. Power Series and Related Topics 3.1. General properties of power series 3.2. Abel's theorem 3.3. Cauchy products and Mertens'theorem 3.4. Taylor's formula with remainder 3.5. Newton's binomial series 3.6. Composition of power series 3.7. Euler's sum 3.8. Continuous nowhere differentiable functions Exercises Chapter 4. Inequalities 4.1. Elementary inequalities 4.2. Cauchy's inequality 4.3. Arithmetic-geometric mean inequality 4.4. Integral analogues 4.5. Jensen's inequality 4.6. Hilbert's inequality Exercises Chapter 5. Infinite Products 5.1. Basic concepts 5.2. Absolute convergence 5.3. Logarithmic series 5.4. Uniform convergence Exercises Chapter 6. Approximation by Polynomials 6.1. Interpolation 6.2. Weierstrass approximation theorem 6.3. Landau's proof