流形上的几何与分析

本书结合Atiyah-Singer 指标理论方面近四十年来涌 现的新思想、新技术，以凝 练的语言，对流形上几何、 拓扑与分析中若干经典结果 ，如示性类的陈-Weil理论 ，等变上同调的Bott留数公 式及更一般的Berline- Vergne局部化公式， Gauss-Bonnet-陈定理， Poincare-Hopf指标公式， Morse不等式，等等，给出 了新颖而“现代”的系统介绍 和处理。此外，本书还介绍 了流形上的热方程理论，并 利用热方程方法证明了 Hodge定理和Lefschetz不动 点定理，给出了de Rham- Hodge算子，Hirzebruch符 号差算子及Dirac算子的局 部指标公式；介绍了Quillen 的超联络理论，并利用该理 论给出了Gauss-Bonnet-陈 定理的一个新的证明；还从 向量从上一般联络出发，几 何地构造了向量从的Euler 形式与Thom形式。 本书旨在向国内的青年 学子和数学工作者介绍 Atiyah-Singer指标理论的一 些基础知识，展示该理论的 基本思想与方法在流形的几 何、拓扑与分析中某些问题 上的重要应用，可作为数学 系研究生的教学参考资料， 也可供相关专业科研人员学 习使用。

第一章 示性类的陈-Weil理论 1.1 de Rham上同调理论回顾 1.2 超向量丛 1.2.1 超向量空间和超代数 1.2.2 超向量丛 1.2.3 超联络及其曲率 1.3 陈-Weil定理 1.3.1 陈-Weil定理 1.3.2 示性式，示性类和示性数 1.4 一些例子 1.4.1 陈形式和陈类 1.4.2 实向量丛的Pontrjagin类 1.4.3 Hirzebruch的L-类、A-类和Td-类 1.4.4 K-群和陈特征 1.4.5 陈-Simons超渡形式 1.5 叶状结构的Bott消灭定理 1.5.1 叶状结构与Bott消灭定理 1.5.2 绝热极限与Bott联络 1.6 奇数维陈-weil理论 第二章 Bott公式与Duistermaat-Heckman公式 2.1 Berline-Vergne局部化公式 2.2 Bott留数公式 2.3 Duistermaat-Heckman公式 2.4 Bott的原始想法 第三章 Gauss-Bonnet-陈定理 3.1 一个初等模型及Berezin积分 3.2 Mathai-Quillen的Thom形式 3.3 超渡公式 3.4 Euler形式与Euler类 3.5 Gauss-Bonnet-陈定理的证明 3.6 一些注记 3.7 陈省身的原始证明 3.8 再论Gauss-Bonnet-陈定理 3.8.1 Clifforrd作用 3.8.2 Gauss-Bonnet-陈定理的又一证明 3.8.3 Euler类的又一陈-Weil表示 3.8.4 Thom形式的又一陈-Weil表示 第四章 Poincare-Hopf指标公式：解析证明 4.1 Hodge定理回顾 4.2 Weitzenbock公式 4.3 Poincare-Hopf指标公式和Witten形变 4.4 在Up∈zero(V)Up外部的-个估计 4.5 Euclid空间上的调和振子 4.6 Poincare-Hopf指标公式的证明 4.7 DT，i的-些估计，2≤i≤4 4.8 特殊情形的另-个解析证明 第五章 Morse不等式：解析证明 5.1 Morse不等式回顾 5.2 Witten形变 5.3 (Ω*(M)，dTf)的Hodge定理