线性代数

本书在总结多年实践教学经验的基础上编写而成，主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、相似矩阵。全书内容简洁、实用，同时注重数学知识与具体专业的结合，精选专业案例，将专业案例转化为数学问题并提供解答思路。本书每章后都附带复习题，本书的最后附有参考答案。在本书附录中，设置数学实验指导、行列式数学实验常用指令、简单的线性规划问题等拓展内容，另外还配套部分知识点的数字化学习资源，供学习者选学或参考。在实际教学和学习中，教师和学生可根据具体的课时安排，对书中的内容进行一定程度的增补或删减。

胡煜，中山大学应用数学专业研究生毕业，现任职于广东工贸职业技术学院，副教授，长期从事数学课程教学与研究工作。

第 1 章 行列式???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1 1.1 行列式的概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1 1.1.1 二阶行列式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1 1.1.2 三阶行列式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3 1.1.3 n 阶行列式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3 习题 1.1???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5 1.2 行列式的性质????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6 习题 1.2???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8 1.3 克莱姆法则及应用??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9 1.3.1 克莱姆法则 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9 1.3.2 运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解 ???????????????????????????????????.10 习题 1.3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.11 复习题 1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.12 本章知识精要 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.12 第 2 章 矩阵???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14 2.1 矩阵的概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14 习题 2.1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.16 2.2 矩阵的性质及运算???????????????????????????????????????????????????????????????????????????.17 2.2.1 矩阵相等 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.17 2.2.2 矩阵的运算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????.18 2.2.3 矩阵的转置 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????.22 2.2.4 方阵的行列式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.24 习题 2.2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.24 2.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩???????????????????????????????????????????????????????????????.25 线性代数 VI 2.3.1 矩阵的初等变换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????.25 2.3.2 矩阵的秩 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.27 习题 2.3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.29 2.4 逆矩阵??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.30 2.4.1 逆矩阵的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.30 2.4.2 逆矩阵的性质 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.30 2.4.3 逆矩阵的求法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.31 2.4.4 用逆矩阵解线性方程组 ???????????????????????????????????????????????????????????.34 习题 2.4????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.34 2.5 矩阵的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.35 2.5.1 编制通信密码 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.35 2.5.2 投入产出分析 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????.37 复习题 2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.40 本章知识精要 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.42 第 3 章 线性方程组??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.44 3.1 向量组的线性相关性????????????????????????????????????????????????????????????????????????.44 3.1.1 n 维向量空间????????????????????????????????????????????????????????????????????????.44 3.1.2 线性相关性概念 ????????????????????????????????????????????????????????????????????.45 3.1.3 线性相关性的判定 ?????????????????????????????????????????????????????????????????.45 习题 3.1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.47 3.2 向量组的秩与矩阵???????????????????????????????????????????????????????????????????????????.48 3.2.1 极大线性无关向量组 ??????????????????????????????????????????????????????????????.48 3.2.2 向量组的秩 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????.48 3.2.3 矩阵与向量组秩的关系 ???????????????????????????????????????????????????????????.49 习题 3.2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.49 3.3 线性方程组的解??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.50 3.3.1 消元法解线性方程组 ??????????????????????????????????????????????????????????????.50 3.3.2 线性方程组解的结构 ??????????????????????????????????????????????????????????????.53 习题 3.3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.54 3.4 应用?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.55 复习题 3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.60 本章知识精要 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.61 第 4 章 相似矩阵?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.64 4.1 向量组的正交规范化????????????????????????????????????????????????????????????????????????.64 目 录 VII 4.1.1 向量内积及其性质 ?????????????????????????????????????????????????????????????????.64 4.1.2 正交向量组及其性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????.65 4.1.3 规范正交基及其求法 ??????????????????????????????????????????????????????????????.66 4.1.4 正交矩阵与正交变换 ??????????????????????????????????????????????????????????????.67 习题 4.1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.69 4.2 方阵的特征值与特征向量??????????????????????????????????????????????????????????????????.69 4.2.1 特征值与特征向量的概念 ????????????????????????????????????????????????????????.69 4.2.2 特征值与特征向量的基本性质 ??????????????????????????????????????????????????.72 习题 4.2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.72 4.3 相似矩阵的概念、性质及应用????????????????????????????????????????????????????????????.72 4.3.1 相似矩阵的概念 ????????????????????????????????????????????????????????????????????.73 4.3.2 相似矩阵的性质 ????????????????????????????????????????????????????????????????????.73 4.3.3 矩阵与对角矩阵相似的条件 ?????????????????????????????????????????????????????.75 习题 4.3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.77 4.4 实对称矩阵的性质与对角化???????????????????????????????????????????????????????????????.77 4.4.1 实对称矩阵的性质 ?????????????????????????????????????????????????????????????????.77 4.4.2 实对称矩阵的对角化 ??????????????????????????????????????????????????????????????.78 习题 4.4????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.82 复习题 4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.82 本章知识精要 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.83 附录 A 数学实验指导???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.84 附录 B 行列式数学实验常用指令????????????????????????????????????????????????????????????????????.99 附录 C 简单的线性规划问题??????????????????????????????????????????????????????????????????????????101 附录 D 习题参考答案???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????106 参考文献?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????114 线性代数