偏微分方程数值解法(第3版清华大学研究生公共课教材)/数学系列

本书介绍了偏微分方程 数值解的两类主要方法： 有限差分方法和有限元方 法。其内容包括有限差分 方法的基本概念；双曲型 方程、抛物型方程及椭圆 型方程的有限差分方法； 数学物理方程的变分原理 ；有限元离散方法以及其 他一些相关的课题等，在 介绍每种具体方法的同时 ，还给出了相应的理论分 析，各章附有习题。 本书可作为高等学校理 工科专业研究生教材，有 关本科专业也可作教材使 用，此外也可供从事科学 与工程计算的科技人员参 考。

第1章 引论、准备知识 1 引论 2 关于偏微分方程的一些基本概念 2.1 几个典型方程 2.2 定解问题 2.3 二阶方程 2.4 一阶方程组 3 Fourier变换和复数矩阵 3.1 Fourier变换 3.2 复数矩阵 第2章 有限差分方法的基本概念 1 有限差分格式 1.1 网格剖分 1.2 用Taylor级数展开方法建立差分格式 1.3 积分方法 1.4 隐式差分格式 2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性 2.1 有限差分格式的截断误差 2.2 有限差分格式的相容性 2.3 有限差分格式的收敛性 2.4 有限差分格式的稳定性 2.5 Lax等价定理Lax等价定理 3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法Fourier方法 3.1 Fourier方法 3.2 判别准则 3.3 例子 4 研究有限差分格式稳定性的其他方法 4.1 Hirt启示性方法 4.2 直接方法 4.3 能量不等式方法能量不等式方法 习题 第3章 双曲型方程的有限差分方法 1 一阶线性常系数双曲型方程 1.1 迎风格式迎风格式 1.2 LaxFriedrichs格式 1.3 LaxWendroff格式 1.4 CourantFriedrichsLewy条件CourantFriedrichsLewy条件 1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式 1.6 蛙跳格式蛙跳格式 1.7 数值例子 2 一阶线性常系数方程组 2.1 LaxFriedrichs格式 2.2 LaxWendroff格式 2.3 迎风格式 3 变系数方程变系数方程及方程组 3.1 变系数方程 3.2 变系数方程组 4 二阶双曲型方程 4.1 波动方程的初值问题 4.2 波动方程的显式格式 4.3 波动的方程差分格式的C.F.L条件 4.4 等价方程组的差分格式 5 双曲型方程及方程组的初边值问题 5.1 二阶双曲型方程的边界处理 5.2 一阶双曲型方程及方程组的边界条件 5.3 一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理数值边界处理 6 二维问题 6.1 一阶双曲型方程 6.2 一阶双曲型方程组 6.3 隐式格式和ADI格式ADI格式 7 非线性方程 7.1 守恒律的初值问题 7.2 LaxFriedrichs差分格式 7.3 守恒型差分格式 习题 第4章 抛物型方程的有限差分方法 1 常系数扩散方程 1.1 向前差分格式，向后差分格式 1.2 加权隐式格式加权隐式格式 1.3 三层显式格式三层显式格式 1.4 三层隐式格式三层隐式格式 1.5 跳点格式跳点格式 2 初边值问题 2.1 第一类边界条件 2.2 第三类边界条件 2.3 数值例子 2.4 关于稳定性分析的附注 2.5 Saul′ev算法 2.6 分组显式方法 3 对流扩散方程 3.1 中心显式格式 3.2 修正中心显式格式 3.3 迎风差分格式 3.4 Samarskii格式 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 3.6 隐式格式 3.7 特征差分格式 4 变系数方程变系数方程 4.1 Taylor级数展开方法 4.2 Keller盒式格式Keller盒式格式 4.3 有限体积法有限体积法 4.4 间断系数问题间断系数问题 4.5 隐式方程的解法 5 多维问题 5.1 一维格式的直接推广 5.2 交替方向隐式格式 5.3 局部一维格式局部一维格式 5.4 预测校正格式 5.5 跳点格式 5.6 三维问题 6 非线性方程 6.1 Richtmyer线性化方法Richtmyer线性化方法 6.2 拟线性扩散方程的隐式格式 6.3 三层格式 6.4 预估校正方法 习题 第5章 椭圆型方程的差分方法 1 Poisson方程 1.1 五点差分格式五点差分格式 1.2 九点差分格式九点差分格式 1.3 极坐标下的差分格式 2 差分格式的性质 2.1 存在惟一性问题 2.2 差分方程解的收敛性 3 边界条件的处理 3.1 矩形区域 3.2 一般区域 4 变系数方程 4.1 直接差分方法 4.2 有限体积法 5 双调和方程双调和方程 6 特征值问题 习题 第6章 数学物理方程的变分原理 1 变分问题变分问题介绍 1.1 古典变分问题 1.2 变分问题解的必要条件 1.3 Rn中的变分问题 2 一维数学物理问题的变分问题 2.1 两点边值问题的变分形式 2.2 非齐次约束边界条件的处理 2.3 第二、三类边界条件 3 高维数学物理问题的变分问题 3.1 第一类边值问题的变分问题 3.2 其他边值问题 3.3 间断系数问题——有内边界的情形 3.4 重调和方程边值问题的变分问题 4 变分问题的近似计算 4.1 Ritz方法 4.2 Galerkin方法 4.3 古典变分方法的数值例子 5 权余量方法及其他方法 习题 第7章 有限元离散方法 1 一维问题的有限元方法、线性元 1.1 单元剖分及试探函数空间的构造 1.2 有限元方程的形成 1.3 数值例子 2 二维问题、三角形线性元 2.1 单元剖分及试探函数空间的构造 2.2 有限元方