统计变分学

本书主要讲述统计学中的变分方法。本书由三大部分组成，第一部分讲述函数极值理论，即第一和第二章，其是一般泛函极值理论的雏形，甚至有些泛函的极值问题可以转化为函数的极值问题。第二部分讲述系泛函极值理论，包括第三至第十三章。第三部分研讨泛函的斜最值点问题，即第十四至十六章，斜投影定理是投影泛函之投影定理的推广，基于此，可使回归分析推广为斜回归分析，又进而探求二次泛函的斜最值点及线性算子方程的斜解。本书与以往变分学的不同之处有以下几点：1.求解极值点的对象，不限于积分型泛函，而是所有泛函；2.用希尔伯特空间上正交投影方法与傅里叶分析方法获得级数形式的精确解；3.将数理统计的方法融入变分学；4.在一定范围内，将泛函极值点的概念推广为斜极值点。 本书适合财经和统计类专业研究生使用。

中央财经大学统计与数学学院教授。于中国科技大学数学系取得本科学位，于北京工业大学数理学院取得硕士学位。主要研究方向为统计回归分析、微分方程、变分学及理论物理学。著有学术专著《统计回归分析——回归方程引论》《统计微分回归方程——微分方程的回归方程观点与解法》。在国内外重要杂志发表学术论文20余篇。主持科研课题3项。

第一章函数的极值 1.1 一元函数的极值 1.2 多元函数的导数与微分 1.3 多元函数的极值 1.4 带约束多元函数的极值 第二章函数极值的应用 2.1 马科维茨组合投资问题 2.2 瑞利商问题. 2.3 统计物理学量子态的极值分布问题 第三章泛函的极值 3.1 弱导数(加托导数) 3.2 强导数(弗雷歇导数) 3.3 泛函极值的必要条件与充分条件 第四章投影泛函的极值 4.1 正交投影定理 4.2 有限维正交投影定理 4.3 可列维正交投影定理 4.4 条件数学期望 第五章线性回归方程 5.1 线性回归方程. 5.2 拟线性回归方程 5.3 带约束线性回归方程. 第六章G-M 线性回归方程 6.1 定义 6.2 最小二乘方法 6.3 极大似然方法 6.4 消参数方法 第七章非参数回归方程 7.1 解析解法 7.2 级数解法 第八章密度函数 8.1 全局解 8.2 局部解 第九章二次泛函的极值 9.1 概念 9.2 二次泛函的对应方程 9.3 二次泛函最值方程与投影泛函最值方程的关系 9.4 二次泛函最值方程的级数解 9.5 二次泛函最值方程的统计解 第十章线性算子方程 10.1 线性算子 10.2 线性算子二次泛函与二次泛函的关系 10.3 线性算子方程与线性算子二次泛函最值方程的关系 10.4 线性算子方程的级数解 10.5 线性算子方程的统计解 第十一章积分型泛函极值的微分方程解法 11.1 简单积分型泛函 11.2 欧拉– 拉格朗日方程 11.3 三种特殊情形 11.4 含两个函数的积分型泛函 11.5 含有二阶导函数的积分型泛函 11.6 含有二元函数的积分型泛函 11.7 带约束的积分型泛函 第十二章积分型泛函极值的级数解法及统计解 12.1 极值点极限定理 12.2 简单积分型泛函 12.3 含两个函数的积分型泛函 12.4 含有二阶导函数的积分型泛函 12.5 带约束的积分型泛函 第十三章熵泛函的极值 13.1 熵的概念 13.2 熵泛函的极值点与常见概率分布 13.3 线性回归分析问题 13.4 统计物理学的量子态之概率分布问题 第十四章斜投影定理 14.1 投影算子 14.2 夹角 14.3 斜投影定理 14.4 有限维投影空间斜投影定理 第十五章斜回归分析 15.1 线性斜回归分析 15.2 G-M 线性斜回归分析 第十六章二次泛函的斜最值点与线性算子方程的斜解 16.1 二次泛函的斜最值点 16.2 线性算子方程的斜解 参考文献