从代数基本定理到超越数(一段经典数学的奇幻之旅第2版)

本书共分六个部分，十四章，是论述代数基本定 理以及证明“π与e是超越数”的一本入门读物，也是 一段经典数学的奇幻之旅。 在第一部分中，从多项式方程的解和数系的扩张 谈起，详述了有理数与循环小数，讨论了在黄金分割 与黄金三角形，以及斐波那契数列中出现的无理数， 由二元数的观点引入复数，最后阐明了代数基本定理 的内容。在第二部分中，用三种不同的方法说明或证 明了代数基本定理，这就表明了复数域是代数闭域。 在第三部分中，从定义圆周率π以及自然对数的底e开 始，最后严格地证明了它们是无理数。在第四部分中 ，阐明了关于多项式的一些概念和理论，其中有贝祖 等式、高斯引理、艾森斯坦不可约判据，以及对称多 项式基本定理等，也详述了有关扩域的一些理论，包 括代数元、代数元域，以及单代数扩域等。在第五部 分中，主要研究了代数扩域与有限扩域，并应用这些 理论讨论了三大古典几何作图问题。在第六部分中， 阐述了康托尔的对角线法，并依此证明了超越数的存 在，简洁地证明了刘维尔定理以及刘维尔数是超越数 ，进而严格地证明了e是超越数的埃尔米特定理，以及 π是超越数的林德曼定理。 本书还有六个附录：附录1推导了斐波那契数列的 通项公式——比奈公式；附录2讨论了一些函数的级数 展开，从而最终阐明了正文中表示π的格雷戈里一莱 布尼茨表达式；附录3叙述了古印度数学家马德哈瓦用 正切函数的级数展开计算丌的方法；附录4借助复数导 出了π的另两个级数表示，这表明了数学内在的统一 和优美；附录5对多项式基本定理中多项式g(x1，x2， …，xn)的唯一性给出了详尽的证明；附录6对正文中 要用到的线性方程组的求解理论作出了简要的说明。 本书起点较低，叙述详尽，论证严格，举例丰富 ，前后呼应，数学内容自成体系，是一本深入浅出， 既可供数学爱好者系统地学习和掌握新知识和方法， 扩展视野，又能使他们欣赏到数学之美的可读性较强 的读物。

第一部分 从求解多项式方程到代数基本定理 第一章 从自然数系到有理数系 1.1 自然数系与一元一次方程的求解 1.2 有理数与循环小数 1.3 可公度线段 第二章 无理数与实数系 2.1 无理数和不可公度线段 2.2 黄金分割与黄金三角形 2.3 黄金矩形 2.4 兔子繁殖与黄金分割 2.5 斐波那契数列的通项公式——比奈公式 第三章 复数系与代数基本定理 3.1 二元数与复数系 3.2 数域的概念 3.3 代数基本定理 3.4 复数域是代数闭域 第二部分 代数基本定理的证明 第四章 代数基本定理的定性说明 4.1 复平面中的一些圆周曲线 4.2 多项式函数及其缠绕数 4.3 缠绕数的一个重要性质 4.4 r极大与极小时的两个极端情况 第五章 业余数学家阿尔冈的证明 5.1 考虑p（z）的最小值 5.2 计算p（z0+ζ）等 5.3 对qζ(1+ζξ)的讨论 5.4 反证法：证明了代数基本定理 第六章 美国数学家安凯奈的证明 6.1 复变函数论中的解析函数 6.2 柯西-黎曼定理 6.3 连续复函数的线积分 6.4 微积分学中的格林定理的回顾 6.5 柯西积分定理 6.6 安凯奈的思路 6.7 φ(z)的两个特殊线积分 6.8 两个不相等的积分 第三部分 圆周率π和自然对数底e，及其无理性 第七章 圆周率π及其无理性 7.1 刘徽割圆与圆周率兀 7.2 π是一个无理数 第八章 自然对数的底e及其无理性 8.1 自然对数的底e与一些重要的公式 8.2 一些重要的应用 8.3 欧拉数e是一个无理数 第四部分 有关多项式与扩域的一些理论 第九章 有关多项式的一些理论 9.1 数系S上的多项式的次数与根 9.2 数系S上的可约多项式与不可约多项式 9.3 多项式的可除性质 9.4 多项式的因式、公因式与最大公因式