吉米多维奇数学分析习题集学习指引(2)

谢惠民等编著的《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》是最为经典 的微积分习题集，自20世纪50年代引进以来，对我国半个多世纪的微积分 和高等数学的教与学产生了重大的影响。《吉米多维奇数学分析习题集学 习指引(第2册)》是为该习题集的俄文2010年版的中译本编写的学习指引。 全书分三册出版，第一册为分析引论和一元微分学，第二册为一元积分学 与级数，第三册为多元微积分。 《吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第2册)》通过对习题集中的部 分典型习题的讲解与分析，由浅入深、分层次、分类型地介绍微积分的解 题思路，讲道理、讲方法，揭示出习题集中的丰富多彩的内容和结构，特 别注重一法多用、一题多解和发展几何直观的形象思维，同时通过补注、 命题等多种方式补充介绍与习题有关的背景知识和联系，不回避任何难点 ，为读者更有效地利用该习题集掌握微积分的基本功提供适当的帮助。 本书适用于正在学习微积分的大学生和需要提高自己数学水平与能力 的各类自学者，对于讲授微积分或高等数学的教师和准备考研的学生也有 参考价值。

沐定夷，1936年生。1962年毕业于上海市复旦大学数学系，至上海交通大学数学系工作，1992年升为教授。长期从事数学分析的教学和研究，在数值代数方向上发表论文多篇。他所编写的《数学分析》（1993）是全国应用数学教育委员会征求的中标教材。1991年获得上海优秀教育工作者称号。 谢惠民，1939年生。1962年毕业于上海市复旦大学数学系，1982年获得理学博士学位，是我国第一批获得博士学位的十八人之一。1983年来苏州大学数学系工作，1992年升为教授，1993年为博士生导师。他长期在本科生的教学第一线工作，在稳定性、最佳控制、非线性科学、复杂性理论和生物信息学等方向上发表论文多篇，出版专著三种，参加编写了《数学分析习题课讲义》（2003）。1991年评为“全国优秀教师”，2007年评为江苏省高等学校教学名师。

使用说明 第三章 不定积分1 §3.1 最简单的不定积分(习题1628–1865)2 3.1.1 直接用积分表求积(习题1628–1653)3 3.1.2 用线性代换求积(习题1654–1673)4 3.1.3 用凑微分法求积(习题1674–1720)5 3.1.4 用展开法求积(习题1721–1765)11 3.1.5 用代入法求积(习题1766–1790)14 3.1.6 用分部积分法求积(习题1791–1835)18 3.1.7 被积函数含二次三项式的求积(习题1836–1865)23 3.1.8 双曲函数及其在积分中的应用25 §3.2 有理函数的积分法(习题1866–1925)30 3.2.1 用部分分式展开法求积(习题1866–1889)30 3.2.2 用奥斯特罗格拉茨基法求积(习题1890–1902)39 3.2.3 杂题(习题1903–1925)44 §3.3 无理函数的积分法(习题1926–1990)47 3.3.1 用有理化方法求积(习题1926–1936)47 3.3.2 含二次无理式的有理函数的求积(习题1937–1965)49 3.3.3 欧拉代换(习题1966–1970)56 3.3.4 杂题(习题1971–1980)60 3.3.5 二项式微分的求积(习题1981–1990)61 §3.4 三角函数的积分法(习题1991–2065)65 3.4.1 被积函数为sinmxcosnx的求积(习题1991–2006，2011–2012)65 3.4.2 三角函数的变量不同时的求积(习题2013–2024)70 3.4.3 有理三角函数的求积(习题2025–2041)72 3.4.4 用待定系数法与递推法求积(习题2042–2059，2063–2065)76 3.4.5 含无理根式的三角函数的求积(习题2007–2010，2060–2062)83 §3.5 各种超越函数的积分法(习题2066–2125)85 3.5.1 多项式与指数函数和三角函数乘积的求积(习题2066–2080)85 3.5.2 有理指数函数的求积(习题2081–2090)87 3.5.3 有理函数与指数函数乘积的求积(习题2091–2097)89 3.5.4 对数函数和反三角函数的求积(习题2098–2115)90 3.5.5 双曲函数的求积(习题2116–2125)92 §3.6 求函数积分的各种例子(习题2126–2180)95 3.6.1 有理函数与无理函数的求积(习题2126–2138)95 3.6.2 超越函数的求积(习题2139–2165)97 3.6.3 分段定义函数的求积(习题2166–2175)103 3.6.4 杂题(习题2176–2180.1)107 第四章 定积分111 §4.1 定积分是积分和的极限(习题2181–2205).111 4.1.1 黎曼和及其极限(习题2181–2192)111 4.1.2 若干证明题(习题2193.1–2193.4，2198–2199，2204)115 4.1.3 函数的可积性判定(习题2194–2197，2200–2203)121 4.1.4 补注(习题2205)125 §4.2 利用不定积分计算定积分的方法(习题2206–2315).128 4.2.1 用牛顿–莱布尼茨公式计算定积分(习题2206–2218，2237–2238)128 4.2.2 定积分在数列极限计算中的应用(习题2219–2230)132 4.2.3 对变动积分限的求导(习题2231–2236)136 4.2.4 换元法和分部积分法(习题2239–2256，2260–2262，2264，2268–2275，2277–2280)139 4.2.5 对称性及其应用(习题2257–2259，2263，2265–2267，2276)145 4.2.6 含有参数n的定积分计算(习题2281–2300)151 4.2.7 有界不连续函数的积分计算(习题2301–2315)158 §4.3 中值定理(习题2316–2333).161 §4.4 广义积分(习题2334–2395).167 4.4.1 广义积分的计算(习题2334–2357)167 4.4.2 广义积分的敛散性判别(习题2358–2383)173 4.4.3 关于广义积分的若干理论题(习题2384–2389)177 4.4.4 广义积分的柯西主值(习题2390–2395)181 §4.5 面积的计算法(习题2396–2430).183 §4.6 弧长的计算法(习题2431–2455).193 §4.7 体积的计算法(习题2456–2485).197 4.7.1 用截面面积的积分求体积(习题2456–2461)197 4.7.2 求给定曲面包围的体积(习题2462–2470)200 4.7.3 旋转体的体积计算(习题2471–2485)203 4.7.4 补注210 §4.8 旋转曲面表面积的计算法(习题2486–2500)212 §4.9 矩的计算法.质心的坐标(习题2501.1–2515)216 §4.10 力学和物理学中的问题(习题2516–2530).222 §4.11 定积分的近似计算法(习题2531–2545)228 第五章 级数33 §5.1 数项级数.同号级数收敛性的判别法(习题2546–2655).233 5.1.1 级数敛散性的基本题(习题2546–2570)235 5.1.2 柯西收敛准则的应用(习题2571–2577)241 5.1.3 达朗贝尔比值判别法和柯西根值判别法(习题2578–2597)243 5.1.4 拉比判别法和高斯判别法(习题2598–2606)247 5.1.5 正项级数敛散性的其他判别法(习题2614–2615，2622，2624–2625)250 5.1.6 杂题(习题2607–2613，2616–2621，2626–2654)254 5.1.7 级数的余项估计(习题2623，2655)257 §5.2 变号级数收敛性的判别法(习题2656–2705)260 5.2.1 变号级数的敛散性判定(习题2659–2661，2664–2689，2691–2700)260 5.2.2 条件收敛级数的性质(习题2656–2658，2662–2663，2701–2705)268 5.2.3 补注(习题2690)276 §5.3 级数的运算(习题2706–2715)278 §5.4 函数项级数(习题2716–2811.2).282 5.4.1 函数项级数的收敛域计算(习题2716–2740)282 5.4.2 函数序列的一致收敛性(习题2741–2766)284 5.4.3 函数项级数的一致收敛性(习题2767–2791)288 5.4.4 和函数与极限函数的性质(习题2792–2811.2)295 5.4.5 补注300 §5.5 幂级数(习题2812–2935)305 5.5.1 幂级数的收敛域计算(习题2812–2837)306 5.5.2 将函数展开为幂级数I(习题2838–2868)310 5.5.3 将函数展开为幂级数II(习题2869–2896，2901–2905)316 5.5.4 幂级数的若干应用(习题2906–2920)323 5.5.5 幂级数在近似计算中的应用(习题2921–2935)326 5.5.6 补注(习题2897–2900)330 §5.6 傅里叶级数(习题2936–2985)337 5.6.1 傅里叶级数的计算(习题2936–2974)338 5.6.2 傅里叶系数的一些性质(习题2975–2985)349 §5.7 级数求和法(习题2986–3033)353 5.7.1 级数求和法I习题2986–3005，3030–3033)353 5.7.2 级数求和法II(习题3006–3017，3028–3029)357 5.7.3 三角级数求和法(习题3018–3027)362 §5.8 利用级数求定积分(习题3034–3050)364 5.8.1 利用级数求定积分I(习题3034–3038，3041–3044，3046–3049)364 5.8.2 利用级数求定积分II(习题3039–3040，3045)367 5.8.3 补注(习题3050)369 §5.9 无穷乘积(习题3051–3110)372 5.9.1 一些简单的无穷乘积计算(习题3051–3064)373 5.9.2 无穷乘积的敛散性判别(习题3065–3099)375 5.9.3 无穷乘积的一些应用(习题3100–3110)382 5.9.4 补注388 §5.10 斯特林公式(习题3111–3120)393 5.10.1 斯特林公式的应用(习题3111–3120)393 5.10.2 补注394 §5.11 用多项式逼近连续函数(习题3121–3135)399 5.11.1 拉格朗日插值多项式(习题3121–3126)399 5.11.2 一致逼近多项式(习题3127–3135)400 5.11.3 补注406 附录 命题索引407 参考文献409 5.7.1 级数求和法I习题2986–3005，3030–3033)353 5.7.2 级数求和法II(习题3006–3017，3028–3029)357 5.7.3 三角级数求和法(习题3018–3027)362 §5.8 利用级数求定积分(习题3034–3050)364 5.8.1 利用级数求定积分I(习题3034–3038，3041–3044，3046–3049)364 5.8.2 利用级数求定积分II(习题3039–3040，3045)367 5.8.3 补注(习题3050)369 §5.9 无穷乘积(习题3051–3110)372 5.9.1 一些简单的无穷乘积计算(习题3051–3064)373 5.9.2 无穷乘积的敛散性判别(习题3065–3099)375 5.9.3 无穷乘积的一些应用(习题3100–3110)382 5.9.4 补注388 §5.10 斯特林公式(习题3111–3120)393 5.10.1 斯特林公式的应用(习题3111–3120)393 5.10.2 补注394 §5.11 用多项式逼近连续函数(习题3121–3135)399 5.11.1 拉格朗日插值多项式(习题3121–3126)399 5.11.2 一致逼近多项式(习题3127–3135)400 5.11.3 补注406 附录 命题索引407 参考文献409