数学模型八讲--模型模式与文化(高等院校素质教育通选课教材)

本书系作者在近年来为北京大学本科生所开设的一门数学与自然科学 类通选课的讲义基础上经补充、修改而成。全书共分八讲，分别讨论数学 中的基本哲学问题，数学悖论的意义，对称概念与艺术和社会学的联系， 叶序等生物学规律的数学表达，变分问题的简要历史和意义，作为一种数 学模式的最小二乘法，概率统计方法的应用和意义等课题。本书力图从一 个更为基本的观点阐明数学的本质与意义，数学与其他科学的关系；说明 应如何认识、理解与把握数学。全书试图从一个与经典数学教材不同的角 度讲授有关内容，强调对问题的整体理解，避免过分的形式化，当然也包 含有为说明问题所必须的推导；强调把握思想而不是具体的方法和技巧。 本书可作为综合大学、师范院校数学与自然科学类通选课教材，也可 供高等院校数学模型课程作为参考教材或辅助读物，或供高等院校其他专 业师生或中学数学教师及各类工程科技人员阅读参考。

第一讲 数学模型、模式与文化 §1 数学模型与数学模式 §2 数学哲学基本问题及不同回答 2.1 数学哲学基本问题 2.2 数学哲学的两大流派——理性主义和经验主义 2.3 数学形态的历史演化 2.4 逻辑主义、直觉主义和形式主义——数学的真理性 2.5 如何看待数学证明？ 2.6 数学发展的历史经验 §3 数学与计算机科学 §4 数学与艺术 参考文献 第二讲 浅谈悖论 §1 悖论的三种情况 §2 几个有趣的悖论 §3 一个引发悖论的重要模式——自指 §4 哥德尔不完全性定理的证明线索 §5 图灵停机问题 §6 任意大的集合基数 §7 文学、美术、音乐和中国古代文献中的悖论 §8 预言可能吗？ 参考文献 第三讲 对称群、装饰图案、血缘关系 §1 从平面几何说起 §2 对称概念与群的数学定义 §3 花边、壁纸、艾舍尔的画及其他 §4 群与血缘关系 参考文献 第四讲 斐波那契序列及有关模型 §1 斐波那契的兔子 §2 花瓣的数目与叶子的排列 §3 凤梨鳞片排列方式的几何描述 §4 向日葵花盘上的螺线模式 §5 叶序的数学物理解释，从物理考虑出发的计算机模拟 §6 斐波那契序列的其他表达方式 §7 斐波那契序列与游戏和魔术 附录 斐波那契序列的一个性质 参考文献 第五讲 有关生命现象的几个数学模型 §1 元胞自动机的基本概念 §2 康维的生命游戏 §3 图灵扩散 §4 关于性别比的数学讨论 参考文献 第六讲 速降线问题与变分法 §1 一段有趣的历史和速降线问题 §2 速降线问题的雅格布·伯努利解法 §3 几何学中的海伦——速降线的奇妙性质 §4 变分问题的数学讨论 4.1 速降线问题的变分提法 4.2 变分问题的其他实例 4.3 求解变分问题的途径——欧拉方程 4.4 几点说明 §5 物理学中的变分原理 §6 经典变分问题的发展——控制论模型 6.1 控制论的数学模型 6.2 一个血糖含量的控制问题 附录 多变量函数积分给出的变分问题 参考文献 第七讲 从最小二乘法谈起 §1 可由最小二乘法求解的问题实例 1.1 观测数据的最小二乘拟合 1.2 层析成像中的最小二乘法 1.3 球队排名问题 §2 最小二乘法的几何解释，阻尼和加权最小二乘法 2.1 最小二乘法的几何解释 2.2 阻尼和加权最小二乘法 §3 从投影观点看傅里叶级数及其他有关问题 3.1 傅里叶级数 3.2 伽略金方法 3.3 随机信号处理中的滤波问题 §4 广义逆 §5 傅里叶变换 §6 最小二乘法和物理问题 6.1 基尔霍夫定律和最小二乘模型 6.2 极小势能问题 6.3 离散问题与连续问题的关系 参考文献 第八讲 驾驭偶然性 §1 敏感问题的抽样调查方法 §2 未名湖水系中金鱼数量的估计 §3 莎士比亚所掌握的词汇量 §4 用统计方法研究因果关系 4.1 问题的提出 4.2 问题的数学表达 参考文献 学生自拟论文题目选辑