数学极客(探索数字逻辑计算之美)

数学是美丽的，它既有趣又令人兴奋，同时也很 实用。本书探讨了两干多年的数学发展历程中一些伟 大的突破和有趣的话题：从埃及分数到图灵机，从数 字的真正意义到证明树、群对称和机械化计算。如果 你想知道高中几何课中难以完成的证明背后到底隐藏 着什么，或者什么限制了计算机的能力，马克·C.查 -卡罗尔著的这本《数学极客(探索数字逻辑计算之美 )》将会带你找到答案。 作者从数字的基础开始带你开启美丽的数学之旅 ，首先通过探讨一些有趣的和奇怪的数字，如整数、 自然数、有理数、超越数、零、黄金比例、虚数、罗 马数字、埃及分数和连分数，带你领略数字的趣味性 、数字之美和数字之用，然后深入研究现代逻辑，包 括线性逻辑、Prolog语言等，以及现代集合论和现代 机械化计算的进展与悖论，带你感受数学的逻辑性和 计算性。

序 译者简介 前言 第一部分 数字 第1章 自然数 1.1 自然数的公理化定义 1.2 使用皮亚诺归纳法 第2章 整数 2.1 什么是整数 2.2 自然地构造整数 第3章 实数 3.1 实数的非正式定义 3.2 实数的公理化定义 3.3 实数的构造性定义 第4章 无理数与数 4.1 什么是无理数 4.2 聚焦无理数 4.3 无理数和数有什么意义，为什么它们很重要 第二部分 有趣的数字 第5章 零 5.1 零的历史 5.2 一个令人生厌的困难数字 第6章 e：不自然的自然数 6.1 无处不在的数字 6.2 e的历史 6.3 e有什么含义 第7章 φ：黄金比例 7.1 什么是黄金比例 7.2 荒唐的传奇 7.3 黄金比例真正存在的地方 第8章 i：虚数 8.1 i的起源 8.2 i是做什么的 8.3 i有什么意义 第三部分 书写数字 第9章 罗马数字 9.1 进位系统 9.2 这场混乱来自哪里 9.3 计算很简单（但是算盘更简单） 9.4 传统的过失 第10章 埃及分数 10.1 一场4000年前的数学考试 10.2 斐波那契的贪婪算法 10.3 有时美胜过实用 /69第11章 连分数 11.1 连分数简介 11.2 更干净，更清晰，纯粹是为了好玩 11.3 作计算 第四部分 逻 辑 第12章 斯波克先生与不符合逻辑 12.1 什么是真正的逻辑 12.2 一阶谓词逻辑 12.3 展示一些新东西 第13章 证明、真理和树 13.1 用树来建立简单的证明 13.2 零基础的证明 13.3 家族关系的例子 13.4 分支证明 第14章 使用逻辑编程 14.1 计算家族关系 14.2 使用逻辑计算 第15章 时序推理 15.1 随时间变化的命题 15.2 CTL擅长什么 第五部分 集 合 第16章 康托尔对角化：无穷不仅是无穷 16.1 朴素的集合 16.2 康托尔对角化 16.3 不要保持简单和直接 第17章 公理化集合论：取其精华，去其糟粕 17.1 ZFC集合论公理 17.2 疯狂的选择 17.3 为什么 第18章 模型：用集合作为搭建数学世界的积木 18.1 构建自然数 18.2 从模型到模型：从自然数到整数 第19章 超限数：无限集的计数和排序 19.1 超限基 19.2 连续统假设 19.3 无限何在 第20章 群论：用集合寻找对称性 20.1 费解的对称性 20.2 不同的对称性 20.3 走入历史 20.4 对称性之源 第六部分 机械化数学 第21章 有限状态机：从简单机器开始 21.1 简单的机器 21.2 实际使用的有限状态机 21.3 跨越鸿沟：从正则表达式到机器 第22章 图灵机 22.1 添加磁带让一切都变得不同 22.2 变元：模仿机器的机器 第23章 计算的核心与病态 23.1 BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的 23.2 图灵完备还是毫无意义 23.3 从庄严到荒谬 第24章 微积分：不是那个微积分，是λ演算 24.1 写λ演算：几乎就是编程 24.2 求值：运行 24.3 编程语言与λ策略 第25章 数字、布尔运算和递归 25.1 λ演算是图灵完备的吗 25.2 计算自身的数字 25.3 决定？回到Church 25.4 递归 第26章 类型，类型，类型：对λ演算建模 26.1 类型简介 26.2 证明 26.3 类型擅长什么 第27章 停机问题 27.1 一个杰出的失败 27.2 是否停机 参考文献