实分析(精)/普林斯顿分析译丛/世界名校名家基础教育系列

伊莱亚斯M.斯坦恩、拉米·沙卡什著的《实分析 》为普林斯顿分析译丛中的第三册实分析，内容分为 测度论、积分以及希尔伯特空间三部分。第1章测度 论：给出勒贝格测度的构造，进而定义了可测函数。 第2章积分理论：给出勒贝格积分的定义、性质以及 一些收敛定理，解决了引言中关于连续函数的极限的 问题。第3章微分与积分：通过引入极大函数、有界 变差函数以及绝对连续函数等概念对微分与积分的对 应关系做了系统的阐述。第4章希尔伯特空间简介： 在引入正交、投影等基本概念之后，讲解了希尔伯特 空间与傅里叶级数以及复分析的联系。第5章希尔伯 特空间：对几个重要的希尔伯特空间进行了深入的探 讨。第6章抽象测度和积分理沦：在一般的测度空间 上建立积分理论，这使得实分析的理论变得清晰简明 。第7章豪斯多夫测度和分形：介绍豪斯多夫测度与 豪斯多夫维数，之后研究了填满空间的曲线。 本书可作为数学专业高年级本科生或研究生的实 分析教材，同时也可作为相关科研人员的参考书。

Elias M.Stein，著名数学家，美国普林斯顿大学终身教授，美国国家科学院院士，美国文理学院院士，沃尔夫奖获得者。他是当代分析，特别是调和分析领域的领袖人物之一。由于在该研究领域的突出贡献，Elias M.Stein荣获1984年美国数学会的Steele奖，1993年获得瑞士科学院颁发的Schock奖，他的许多著作成为影响学科发展的重要参考文献。

译者序 前言 引言 1 傅里叶级数：完备化 2 连续函数的极限 3 曲线的长度 4 微分与积分 5 测度问题 第1章 测度论 1 预备知识 2 外测度 3 可测集与勒贝格测度 4 可测函数 4.1 定义与基本性质 4.2 用简单函数或阶梯函数逼近 4.3 李特尔伍德三大原理 5 Brunn-Minkowski不等式 6 习题 7 问题 第2章 积分理论 1 勒贝格积分：基本性质与收敛定理 2 可积函数空间F 3 Fubini定理 3.1 定理的叙述与证明 3.2 Fubini定理的应用 4 傅里叶反演公式 5 习题 6 问题 第3章 微分与积分 1 积分的微分 1.1 哈代一李特尔伍德极大函数 1.2 勒贝格微分定理 2 好的核与恒同逼近 3 函数的可微性 3.1 有界变差函数 3.2 绝对连续函数 3.3 跳跃函数的可微性 4 可求长曲线与等周不等式 4.1 曲线的闵可夫斯基容量 4.2 等周不等式 5 习题 6 问题 第4章 希尔伯特空间简介 1 希尔伯特空间L2 2 希尔伯特空间 2.1 正交性 2.2 酉映射 2.3 准希尔伯特空间 3 傅里叶级数与法图定理 3.1 法图定理 4 闭子空间与正交投影 5 线性变换 5.1 线性泛函与里斯表示定理 5.2 伴随 5.3 例子 6 紧算子 7 习题 8 问题 第5章 希尔伯特空间：几个例子 1 L2上的傅里叶变换 2 关于上半平面的哈代空间 3 常系数偏微分方程 3.1 弱解 3.2 主要定理和关键估计 4 狄利克雷原理 4.1 调和函数 4.2 边值问题和狄利克雷原理 5 习题 6 问题 第6章 抽象测度和积分理论 1 抽象测度空间 1.1 外测度与卡拉泰奥多里定理 1.2 度量外测度 1.3 延拓定理 2 测度空间上的积分 3 例子 3.1 乘积测度和一般的Fubini定理 3.2 极坐标的积分公式 3 3R上的博雷尔测度和勒贝格一靳蒂尔切斯积分 4 测度的绝对连续性 4.1 带号测度 4.2 绝对连续性 5 遍历定理 5.1 平均遍历定理 5.2 极大遍历定理 5.3 逐点遍历定理 5.4 遍历保测变换 6 附录：谱定理 6.1 定理的叙述 6.2 正算子 6.3 定理的证明 6.4 谱 7 习题 8 问题 第7章 豪斯多夫测度和分形 1 豪斯多夫测度 2 豪斯多夫维数 2.1 例子 2.2 自相似 3 空间填充曲线 3.1 四次区间和二进正方形 3.2 二进对应 3.3 佩亚诺映射的构造 4 Besicovitch集和正则性 4.1 拉东变换 4.2 当d≥3时集合的正则性 4.3 Besicovitch集有维数2 4.4 Besicovitch集的构造 5 习题 6 问题 注记和参考 符号索引 参考文献