你没想到的数学

本书讨论了一些源自日常生活的数学问题，用数学思维和计算机思维，讲解了巧妙的解题思路。一个个看似简单的问题，细究后却发现别有洞天。本书会带领读者一起来到数学研究的前沿阵地，享受思考的乐趣，感受数学的奥妙。读者在探究问题的过程中，可以学习和培养巧妙的数学思维和计算机思维，灵活应用知识，用四两拨千斤之巧力去解决生活、学习以及工程问题。 本书是一本标新立异又具有思想深度的思维训练书，适合理工科专业的本科生、研究生，以及对数学、计算机有兴趣的读者阅读。

王赟 Facebook语音组研究科学家。2006至2010年就读于清华大学电子工程系，并进入美国卡内基梅隆大学（CMU）学习；2010至2018年于卡内基梅隆大学计算机学院语言技术研究所攻读博士学位，主攻方向为语音识别、音频事件检测。曾于2004年、2005年参加全国信息学奥林匹克竞赛（NOI），并分别获得铜牌、银牌；此后曾辅导多名同学参加互联网公司的面试。于业余时间自学了日语、韩语、西班牙语、法语、越南语5门外语及中古汉语，并制作了安卓应用“汉字古今中外读音查询”。日常活跃于知乎，擅长回答数学、计算机、语言类问题，并在知乎专栏发表多篇优质文章。

第 一章 一道弹性碰撞的物理题，结果为什么会出现π？ 1 1.1　碰撞的滑块　1 1.2　隐藏的椭圆　3 1.3　把椭圆 “捏” 成圆　5 第二章　超级任务与一致收敛　8 2.1　Ross-Littlewood 悖论　8 2.2　逐点收敛与一致收收敛　9 第三章　怎样在球面上 “均匀” 排列许多点？　13 3.1　神奇的斐波那契网格　13 3.2　从平面点阵入手　19 3.2.1　连分式与丢番图逼近　20 3.2.2　模式与模式图　22 3.2.3　连分式中的大项对模式的影响　30 3.2.4　斐波那契网格为什么混乱又密集？　32 3.2.5　总结　36 3.3　回到球面点阵　37 第四章　一道 “小黄鸭” 概率题及其有趣扩展　40 4.1　“小黄鸭” 原题　40 4.2　高维情况初探　44 4.3　高维情况再探　48 4.4　高维情况的解决　54 4.5　编程验证　30 第五章　“赌徒” 的征程　66 5.1　引子　66 5.2　递推法的困境　68 5.3　鞅的停时定理　75 5.4　会长大的笼子　80 5.5　靠谱的谱分析　83 5.6　尾声　88 第六章　一种错误的洗牌算法，以及乱排常数　90 6.1　乱排常数的起源　90 6.2　乱排常数的推导　95 6.3　乱排常数的简洁形式　101 6.4　乱排常数的几个推广　103 第七章　用位运算速解 n 皇后问题　108 7.1　解法一： 步步回眸　109 7.2　解法二： 雁过留痕　111 7.3　解法三： 以一当百　113 7.4　解法四： 弹无虚发　116 7.5　解法五： 精益求精　119 7.6　总结　120 第八章　如何不重复地枚举 24 点算式？　122 8.1　朴素的枚举法　122 8.1.1　算式的表示方式　123 8.1.2　朴素的枚举算法　125 8.1.3　算式重复的统计　126 8.1.4　算式重复的原因　127 8.2　避免由交换律、结合律、独立运算顺序不唯一造成的重复　129 8.2.1　避免由 “交换律” 造成的重复　129 8.2.2　避免由 “结合律” 造成的重复　130 8.2.3　避免由 “独立运算顺序不唯一” 造成的重复133 8.2.4　小结　135 8.3　避免由去括号、反转减号造成的重复　136 8.3.1　避免由 “去括号” 造成的重复　137 8.3.2　避免由 “反转减号” 造成的重复　138 8.3.3　总结　143 第九章　Sprague-Grundy 定理是怎么想出来的？　145 9.1　游戏介绍　145 9.2　策梅洛定理　148 9.3　游戏状态的组合　149 9.4　Sprague-Grundy 数的提出　151 9.5　状态组合时 Sprague-Grundy 数的运算规则　154 9.5.1　规则的发现　154 9.5.2　规则的证明　156 9.6　Sprague-Grundy 定理的完整表述　157 第十章　小算法题，大应用：如何 “掰平” 一个不单调的序列？　159 10.1　如何 “掰平” 一个不单调的序列？　159 10.1.1　Matlab 的掰乎算法　160 10.1.2　高效的掰平算法　162 10.2　“掰平” 算法的应用： multi-dimensional scaling　163 10.3　附记　168 第十一章　二叉树怎样序列化才能重建？　169 11.1　几种常见的序列化方法　169 11.1.1　仅使用一种遍历的序列化方法　169 11.1.2　使用两种遍历的序列化方法　170 11.1.3　二叉搜索树 （BST） 的序列化方法　173 11.2　二叉树序列化能够重建的充分条件　175 11.3　“不含重复元素” 的必要性探讨　176 参考文献　180