数学物理方程

《数学物理方程》由编者支元洪根据在云南大学 数学与统计学院多年讲授“数学与物理方程”课程所 使用的讲义整理而成。 主要介绍了四类基本方程的推导，求解一阶非线性偏 微分方程边值问题的特征法，二阶半线性偏微分方程 的 分类理论，以及求解一般二阶线性偏微分方程定解问 题的分离变量法、积分变换法和Green函数法。在此 基 础上，着重讲述了研究偏微分方程解的定性理论的能 量法和极值原理。本书共分5章，逻辑严谨、叙述准 确、 结构清晰、内容充实，并附适量习题供读者巩固知识 之用。 本书可作为数学类各专业高年级本科生和理工类 有关专业研究生的教材，教学时数为70～80学时，也 可供广大高校相关教师和科技工作者参与。

第1章 基本方程的推导和定解问题 1.1 一维波方程的推导和定解问题 1.1.1 弹性弦一维横振动方程的推导和定解问题 1.1.2 弹性杆一维纵向振动运动方程和定解条件 1.2 热方程的推导及定解问题 习题1.1 1.3 Laplace方程 1.4 变分原理 1.4.1 弹性薄膜的平衡最小势能原理 1.4.2 弹性薄膜的微小横振动Hamilton稳定作用原理 习题1.2 1.5 流体连续性方程 1.6 偏微分方程相关概念 1.6.1 多重指标 1.6.2 偏微分方程定义及简单分类 1.6.3 常见的PDE 1.6.4 定解问题的适定性 习题：1.3 第2章 一阶偏微分方程特征理论 2.1 一阶线性PDE特征法 2.1.1 一阶线性PDE边值问题 2.1.2 一阶线性非齐次传输方程 2.2 一阶非线性PDE特征法 2.2.1 寻找特征 2.2.2 解的局部存在唯一性 2.2.3 特征法的应用 习题2.1 第3章 二阶半线性偏微分方程的分类与化简. 3.1 两个独立变元二阶半线性偏微分方程的分类与化简. 3.1.1 方程的分类 3.1.2 化简标准型 习题3.1 3.2 多个独立变元二阶半线性方程的分类 3.2.1 多个独立变元二阶半线性方程的分类标准 3.2.2 常系数二阶半线性方程的化简 习题3.2 第4章 二阶线性偏微分方程常用解法 4.1 两个独立变元双曲型方程特征法 4.1.1 u=0的情形 4.1.2 几类二阶线性齐次双曲第二标准型的通解 习题4.1 4.2 分离变量法 4.2.1 线性齐次方程带线性齐次边界情形 4.2.2 波方程混合问题的分离变量法 4.2.3 热方程混合问题的分离变量法 4.2.4 线性椭圆型方程边值问题的分离变量法 4.2.5 线性非齐次问题的齐次化 习题4.2 4.3 Sturm—Liouville问题 4.3.1 自共轭微分算子 4.3.2 Regular-Sturm—Liouville问题 习题4.3 4.4 波方程初值问题 4.4.1 一维波方程情形d'Alembe公式 4.4.2 三维波方程初值问题球面平均 4.4.3 二维波方程初值问题降维法 4.4.4 一维波方程半直线问题延拓法 习题4.4 4.5 热方程Cauchy问题Fourier变换 4.5.1 Fouriel变换 4.5.2 热方程Cauchy问题 4.5.3 热方程半直线问题延拓法 4.5.4 Fourier正弦变换和余弦变换 习题4.5 第5章 二阶线-陛偏微分方程解的定性理论 5.1 双曲型方程能量估计 5.1.1 波方程初值问题解的物理解释Huygens原理 5.1.2 双曲型方程能量估计解的适定性 5.1.2.1 混合问题能量估计 5.1.2.2 Cauchy问题能量估计 习题5.1 5.2 椭圆型方程能量估计 5.2.1 边值问题的唯一性 5.2.2 边值问题的稳定性 习题5.2 5.3 Laplace方程的基本解极值原理Green函数 5.3.1 Laplace方程基本解 5.3.2 调和函数的平均值公式和极值原 5.3.3 调和函数的性质 5.3.4 Poisson方程边值问题解的Green函数表示 习题5.3 5.4 线性椭圆型方程极值原理 5.4.1 弱极值原理Dirichlet边值问题逐点先验估计 5.4.2 Hopf引理 5.4.3 强极值原理混合边值问题逐点先验估计 习题5.4 5.5 抛物型方程能量估计极值原理 5.5.1 混合问题的能量估计 5.5.2 热方程极值原理与逐点估计 5.5.3 线性抛物型方程极值原理 5.5.4 抛物型方程解的正性扰动的无限传播 5.5.5 Cauchy问题 5.5.6 热方程逆时间问题的不适定性 习题5.5 参考文献 索引